輸入計算

結果

20-Point Gauss-Legendre Rule on [-1, 1]

權重總和（應等於 2）

i	節點 x_i	權重 w_i
1	-0.993128599185095	0.017614007139152
2	-0.963971927277914	0.040601429800387
3	-0.912234428251326	0.062672048334109
4	-0.839116971822219	0.083276741576705
5	-0.746331906460151	0.10193011981724
6	-0.636053680726515	0.118194531961518
7	-0.510867001950827	0.131688638449176
8	-0.37370608871542	0.142096109318382
9	-0.227785851141645	0.149172986472604
10	-0.076526521133497	0.152753387130726
11	0.076526521133497	0.152753387130726
12	0.227785851141645	0.149172986472604
13	0.37370608871542	0.142096109318382
14	0.510867001950827	0.131688638449176
15	0.636053680726515	0.118194531961518
16	0.746331906460151	0.10193011981724
17	0.839116971822219	0.083276741576705
18	0.912234428251326	0.062672048334109
19	0.963971927277914	0.040601429800387
20	0.993128599185095	0.017614007139152

什麼是高斯-勒讓德求積法計算器？

這個工具可在參考區間 [-1, 1] 上計算 n 點高斯-勒讓德求積法的節點（橫坐標）與權重。高斯-勒讓德求積法是一種數值積分方法，它將定積分近似為函數值的加權總和：f(x) 從 -1 到 1 的積分約等於各項 $w_i$ 乘上 $f(x_i)$ 的總和。只要 $n$ 個節點，就能精確積分次數達 $2n-1$ 的任意多項式，因此遠比梯形法、辛普森法（Simpson）等等距節點方法更為準確。

使用方式

選擇階數 $n$（即節點數，範圍 2 至 100），並可選擇要顯示的有效位數。計算器會回傳一個含 $n$ 列的表格，每列包含一個節點 $x_i$ 及其對應權重 $w_i$。節點關於 0 對稱，且全部嚴格落在 (-1, 1) 區間內；權重皆為正值，總和恰為 2，也就是該區間的長度。若要在任意區間 [a, b] 上積分，請以 $t_i = \frac{b-a}{2} \times x_i + \frac{a+b}{2}$ 對各節點做映射，並將每個權重乘上 $\frac{b-a}{2}$。

公式說明

節點即勒讓德多項式 $P_n(x)$ 的 $n$ 個根，可用 Bonnet 遞迴式建立：$P_0=1$，$P_1=x$，且 $$P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}.$$每個權重為 $$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left(P_n^{\prime}(x_i)\right)^{2}},$$其中導數 $$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\,(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x))}{x^2 - 1}.$$求根採用牛頓法，以 $x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)$ 作為初始值，通常只需幾次迭代即可收斂。

[-1,1]上的平滑函數在若干非均勻對稱節點處取樣，並帶有加權貢獻 — 高斯-勒讓德求積法將積分近似為在特別選定的節點處函數值的加權和。

範例演算（n = 3）

$P_3$ 的根為 $x = 0$ 與 $x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692$。$x = 0$ 處的權重為 $\frac{8}{9} = 0.888888889$，而 $x = \pm 0.7745966692$ 處的權重各為 $\frac{5}{9} = 0.555555556$。權重總和為 $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2,$$且此 3 點規則可精確積分次數達 5 的多項式。