這個計算器的功能
Tanh-Sinh 求積節點與權重計算器會在標準區間 [-1, 1] 上，產生 Tanh-Sinh（又稱雙指數，DE）積分法所需的橫座標（節點）\(x_i\) 與對應的權重 \(w_i\)。取得這些數對之後，你就能把任意定積分化為一個簡單的加權和：f(x) 在 [-1, 1] 上的積分，近似等於所有 \(w_i\) 乘以 \(f(x_i)\) 的總和。
方法與公式
Tanh-Sinh 求積法採用變數變換 \(x = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\)，把整條實數線 \(t\) 映射到開區間 (-1, 1)。變換後的被積函數會以雙指數速度衰減，因此最普通的梯形法則也能以驚人的速度收斂。把 \(t\) 截斷到 \([-t_a, t_a]\)，再取 \(n\) 個等距取樣點、步長 \(h = 2 t_a / (n - 1)\)，則每個點的座標為 \(t_i = -t_a + (i - 1) h\)、節點 \(x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)\)，權重則為 \(w_i = h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i\) 除以 cosh 的平方（\(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\)）。
$$ x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)} $$
使用方式
先選定階數 \(n\)（梯形取樣點的數量），再決定 \(t_a\) 要依你設定的精度自動推算，還是手動輸入，最後選擇要顯示幾位有效數字。在自動模式下，半寬度為 \(t_a = \mathrm{round}\!\left[(\text{digits} + 1)^{0.46},\,1\right]\)；以 22 位為例，會得到文件中記載的預設值 \(t_a = 4.2\)。「僅半側」選項會利用對稱性 \(x_{-i} = -x_i\)、\(w_{-i} = w_i\)，只回傳非負的一側；「全部」則會列出從接近 -1 到接近 +1 的每一個節點。
範例演算
當 \(n = 3\)、手動設 \(t_a = 4\)，並選擇「全部」時：\(h = 8 / 2 = 4\)。三個 \(t\) 值分別為 -4、0、4。在 \(t = 0\) 時，\(x = \tanh(0) = 0\)，$$ w = \tfrac{\pi}{2}\,h = 1.5707963 \times 4 = 6.2831853. $$在 \(t = \pm 4\) 時，\(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) 這個引數極大，因此 \(x\) 飽和趨近 \(\pm 1\)，權重則因下溢而幾乎變成 0。當 \(n\) 較大且搭配適當的 \(t_a\) 時，權重總和會逼近 2，正好是 \(f = 1\) 在 [-1, 1] 上的精確積分值。
常見問題
為什麼兩端的權重幾乎為零？雙指數衰減會使 cosh 的平方（\(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\)）在邊緣附近趨於溢位，因此那些權重會消失——而這正是這套方法如此精確的原因。
這裡的「階數 n」是什麼意思？它指的是在 \([-t_a, t_a]\) 上等距取的梯形取樣點數量；點數越多並搭配合適的 \(t_a\)，精度就越高。
我能在一般區間 [a, b] 上積分嗎？可以——只要重新縮放：代入 \(x = \tfrac{b - a}{2} x_i + \tfrac{a + b}{2}\)，並把每個權重乘上 \(\tfrac{b - a}{2}\) 即可。
