À quoi sert ce calculateur
Le calculateur de nœuds et poids de quadrature Tanh-Sinh génère les abscisses (nœuds) \(x_i\) et les poids associés \(w_i\) qu'utilise la règle d'intégration Tanh-Sinh, dite double exponentielle (DE), sur l'intervalle de référence [-1, 1]. Une fois ces paires en main, vous pouvez approcher n'importe quelle intégrale définie par une simple somme pondérée : l'intégrale de f(x) sur [-1, 1] vaut approximativement la somme des \(w_i\) multipliés par \(f(x_i)\).
La méthode et la formule
La quadrature Tanh-Sinh repose sur le changement de variable x = tanh((pi/2) sinh t), qui envoie toute la droite réelle t sur l'intervalle ouvert (-1, 1). L'intégrande transformé décroît de façon doublement exponentielle : la simple règle des trapèzes converge alors à une vitesse stupéfiante. Après troncature de t à [-t_a, t_a] et échantillonnage de n points équidistants avec un pas h = 2 t_a / (n - 1), chaque point donne t_i = -t_a + (i - 1) h, le nœud x_i = tanh((pi/2) sinh t_i) et le poids w_i = h (pi/2) cosh t_i divisé par le carré de cosh de (pi/2) sinh t_i.
$$\begin{gathered} x_i = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right), \qquad w_i = \frac{h\,\tfrac{\pi}{2}\cosh t_i}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t_i\right)} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} t_i &= -t_a + (i-1)\,h, \quad i = 1,\dots,\text{Order }n \\ h &= \frac{2\,t_a}{\text{Order }n - 1} \\ t_a &= \mathrm{round}\!\left[\left(\text{Digits} + 1\right)^{0.46},\,1\right] \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Mode d'emploi
Choisissez l'ordre \(n\) (le nombre de points d'échantillonnage des trapèzes), indiquez si \(t_a\) est déterminé automatiquement à partir de la précision demandée ou saisi à la main, puis sélectionnez le nombre de chiffres significatifs à afficher. En mode automatique, la demi-largeur vaut \(t_a = \mathrm{round}\!\left[(\text{digits} + 1)^{0.46},\,1\right]\) ; pour 22 chiffres, on retrouve la valeur par défaut documentée \(t_a = 4{,}2\). L'option « Moitié » exploite la symétrie \(x_{-i} = -x_i\), \(w_{-i} = w_i\) et ne renvoie que la partie positive ; « Tous » liste chaque nœud, depuis les abords de -1 jusqu'à ceux de +1.
Exemple détaillé
Avec \(n = 3\), \(t_a = 4\) saisi manuellement et l'option « Tous » : \(h = 8 / 2 = 4\). Les trois valeurs de \(t\) sont -4, 0 et 4. En \(t = 0\), \(x = \tanh(0) = 0\) et \(w = \tfrac{\pi}{2} h = 1{,}5707963 \times 4 = 6{,}2831853\). En \(t = \pm 4\), l'argument \(\tfrac{\pi}{2}\sinh(4)\) est énorme : \(x\) sature à \(\pm 1\) et le poids tombe par sous-dépassement à pratiquement 0. Avec un \(n\) plus grand et un \(t_a\) adapté, la somme des poids approche 2, soit exactement l'intégrale de \(f = 1\) sur [-1, 1].
FAQ
Pourquoi les poids des extrémités sont-ils quasi nuls ? La décroissance doublement exponentielle fait diverger le carré de cosh de \(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\) près des bords : ces poids s'annulent donc — et c'est précisément ce qui rend la méthode si précise.
Que signifie « ordre n » ici ? C'est le nombre de points de trapèze équidistants répartis sur [-t_a, t_a] ; davantage de points, avec un \(t_a\) bien choisi, améliorent la précision.
Puis-je intégrer sur un intervalle quelconque [a, b] ? Oui — il suffit de remettre à l'échelle : posez \(x = \tfrac{b - a}{2} \cdot x_i + \tfrac{a + b}{2}\) et multipliez chaque poids par \(\tfrac{b - a}{2}\).
