Qu'est-ce que la quadrature de Gauss-Hermite ?
La quadrature de Gauss-Hermite est une méthode numérique permettant d'approcher des intégrales définies sur toute la droite réelle et portant le poids gaussien \(e^{-x^2}\). La règle à n points approche l'intégrale par une somme pondérée de la fonction évaluée en n points soigneusement choisis : l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini de \(e^{-x^2}\cdot f(x)\,dx\) vaut approximativement la somme sur i des \(w_i\cdot f(x_i)\).
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$Les nœuds \(x_i\) sont les racines du polynôme d'Hermite des physiciens \(H_n\), tandis que les poids \(w_i\) découlent de l'orthogonalité de ces polynômes.
Comment utiliser le calculateur
Choisissez l'ordre n (le nombre de points, de 2 à 100) ainsi que le nombre de chiffres affichés, puis consultez le tableau des nœuds et des poids. Comme les calculs reposent sur la double précision standard, la précision affichée est plafonnée à environ 15 chiffres significatifs ; au-delà, il faudrait une arithmétique à précision arbitraire pour que les chiffres supplémentaires aient un sens. La règle à n points intègre exactement tout polynôme de degré inférieur ou égal à \(2n-1\).
La formule expliquée
Les nœuds sont les n zéros réels de \(H_n(x)\), défini par la récurrence \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x\cdot H_k - 2k\cdot H_{k-1}\). Les poids valent
$$w_i = \frac{2^{n-1}\cdot n!\cdot \sqrt{\pi}}{n^2\cdot \big[H_{n-1}(x_i)\big]^2}.$$Ce calculateur s'appuie sur la méthode stable de Golub-Welsch : il construit la matrice de Jacobi tridiagonale symétrique (diagonale nulle, sous-diagonale \(\sqrt{k/2}\)), calcule ses valeurs propres (les nœuds) et ses vecteurs propres, puis fixe chaque poids à \(\sqrt{\pi}\) multiplié par le carré de la première composante du vecteur propre normalisé correspondant. On évite ainsi tout dépassement de capacité lié aux grandes factorielles.
$$\left\{ \begin{aligned} J\,v_i &= x_i\,v_i, \quad J_{kk}=0,\; J_{k,k+1}=J_{k+1,k}=\sqrt{\tfrac{k}{2}} \\ w_i &= \sqrt{\pi}\,\big(v_{i,1}\big)^2 \end{aligned} \right.$$Exemple résolu (n = 2)
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) a pour racines \(x = \pm 1/\sqrt{2} = \pm 0{,}7071067811865475\). Chaque poids vaut \(\dfrac{2^1\cdot 2!\cdot \sqrt{\pi}}{2^2\cdot [H_1(x_i)]^2}\). Avec \(H_1(x)=2x\), on a \([H_1]^2 = 2\), donc chaque poids
$$= \frac{2\cdot 2\cdot 1{,}7724538509055160}{4\cdot 2} = 0{,}8862269254527580.$$Leur somme est \(\sqrt{\pi} = 1{,}7724538509055160\), une vérification bien pratique.
FAQ
Pourquoi la somme des poids vaut-elle toujours \(\sqrt{\pi}\) ? En posant \(f(x)=1\), on retrouve l'intégrale de \(e^{-x^2}\) sur la droite réelle, qui vaut \(\sqrt{\pi}\) ; la quadrature la reproduit exactement.
De quelle convention d'Hermite s'agit-il ? La convention des physiciens, avec le poids \(e^{-x^2}\). Pour le poids des probabilistes \(e^{-x^2/2}\), les nœuds et les poids diffèrent d'un facteur d'échelle.
Puis-je intégrer une fonction sans le facteur \(e^{-x^2}\) ? Oui : posez \(g(x) = e^{x^2}\cdot f(x)\), de sorte que l'intégrale de g vaut approximativement la somme des \(w_i\cdot e^{x_i^2}\cdot g(x_i)\).
