Qu'est-ce que la quadrature de Gauss-Laguerre ?
La quadrature de Gauss-Laguerre est une méthode numérique qui permet d'approcher les intégrales impropres définies sur l'intervalle semi-infini (0, +∞), dès lors que l'intégrande décroît de façon exponentielle. Elle remplace l'intégrale par une somme pondérée évaluée en un petit nombre de points soigneusement choisis, appelés nœuds. Pour un ordre \(n\) donné, la règle est exacte pour tout polynôme de degré allant jusqu'à \(2n-1\) (relativement au poids \(x^{\alpha} \cdot e^{-x}\)), ce qui lui confère une précision remarquable pour les intégrandes régulières, et ce avec très peu d'évaluations.
Comment utiliser ce calculateur
Commencez par choisir un mode de saisie. Optez pour f(x) si votre intégrale est déjà sous la forme « intégrale de \(x^{\alpha} \cdot e^{-x} \cdot f(x)\, dx\) » et que vous souhaitez seulement saisir le facteur \(f\). Choisissez g(x) si vous disposez de l'intégrande complète \(g(x)\) sur (0, +∞) ; l'outil divise alors automatiquement par le poids intégré. Saisissez ensuite la fonction en variable \(x\) avec la notation standard (+, −, *, /, ^, sqrt, exp, ln, sin, cos, tan, etc.), réglez le nombre de nœuds \(n\), puis le paramètre de poids \(\alpha\) (utilisez 0 pour la quadrature de Gauss-Laguerre classique). Augmenter \(n\) améliore la précision pour les fonctions régulières.
La formule expliquée
Les nœuds \(x_i\) sont les racines du polynôme de Laguerre généralisé \(L_n^{(\alpha)}(x)\), et les poids \(w_i\) sont obtenus par l'algorithme de Golub-Welsch : les valeurs propres d'une matrice de Jacobi tridiagonale symétrique fournissent les nœuds, tandis que \(w_i = \Gamma(\alpha+1)\) multiplié par le carré de la première composante de chaque vecteur propre normalisé. L'intégrale est alors approchée par la somme pondérée présentée ci-dessus.
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
Exemple détaillé
Prenons \(\alpha = 0\), \(n = 2\), le mode f(x) et \(f(x) = x^2\) (on estime donc l'intégrale de \(x^2 \cdot e^{-x}\, dx\), dont la valeur exacte est \(\Gamma(3) = 2\)). Les deux nœuds sont \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0{,}585786\) avec \(w_1 = 0{,}853553\), et \(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3{,}414214\) avec \(w_2 = 0{,}146447\). La somme vaut $$0{,}853553 \times 0{,}343146 + 0{,}146447 \times 11{,}656854 = 0{,}292893 + 1{,}707107 = 2{,}000000,$$ soit exactement la valeur exacte, car \(x^2\) est un polynôme de degré \(2 \le 2n-1 = 3\).
FAQ
À quoi sert le paramètre alpha ? Il fixe l'exposant du poids \(x^{\alpha} \cdot e^{-x}\). Utilisez \(\alpha = 0\) pour la quadrature de Gauss-Laguerre standard. Les valeurs doivent vérifier \(\alpha > -1\) afin que le poids reste intégrable.
Pourquoi mon résultat est-il imprécis ? C'est que l'intégrande n'est pas assez régulière, ou qu'elle ne décroît pas suffisamment vite sur (0, +∞). La règle renvoie toujours un nombre fini, mais celui-ci n'a de sens que si l'intégrale converge réellement et si l'intégrande est bien approchée par un produit de polynômes et du poids. Augmentez \(n\) pour tester la convergence.
Quelle est la différence entre les modes f et g ? En mode f, vous fournissez uniquement le facteur multipliant le poids intégré ; en mode g, vous fournissez l'intégrande entière et le poids est retiré au sein de la somme. Les deux donnent le même résultat lorsqu'ils sont paramétrés de façon cohérente.
