什么是高斯-拉盖尔求积？
高斯-拉盖尔求积（Gauss-Laguerre quadrature）是一种数值积分方法，专门用于近似计算半无限区间 \((0, \infty)\) 上、被积函数随指数衰减的反常积分。它把积分替换为在一组精心选取的采样点（称为节点）上计算的加权和。对于给定的阶数 \(n\)，该求积公式对任意次数不超过 \(2n-1\) 的多项式（相对于权函数 \(x^{\alpha} e^{-x}\)）都是精确的，因此只需少量几个函数取值，就能对光滑被积函数给出相当高的精度。
如何使用本计算器
首先选择输入模式。如果你的积分已经写成 \(x^{\alpha} \cdot e^{-x} \cdot f(x)\, dx\) 的形式，只想输入其中的因子 \(f\)，请选择 f(x)。如果你手头是 \((0, \infty)\) 上完整的被积函数 \(g(x)\)，请选择 g(x)，工具会自动把内置的权函数除去。用变量 \(x\) 以标准记号输入函数（支持 +、-、*、/、^、sqrt、exp、ln、sin、cos、tan 等），设置节点个数 \(n\)，并设置权参数 \(\alpha\)（普通高斯-拉盖尔取 0）。对于光滑函数，增大 \(n\) 可以提高精度。
公式解析
节点 \(x_i\) 是广义拉盖尔多项式 \(L_n^{(\alpha)}(x)\) 的根，权系数 \(w_i\) 则由 Golub-Welsch 算法求得：一个对称三对角 Jacobi 矩阵的特征值给出各个节点，而 \(w_i = \Gamma(\alpha+1)\) 乘以每个归一化特征向量第一个分量的平方。最终的积分就由上面所示的加权和来近似。
$$\int_{0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x}\, g(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, g(x_i)$$
计算示例
取 \(\alpha = 0\)，\(n = 2\)，模式选 f(x)，\(f(x) = x^2\)（即估计 \(x^2 \cdot e^{-x}\, dx\) 的积分，其精确值为 \(\Gamma(3) = 2\)）。两个节点分别为 \(x_1 = 2 - \sqrt{2} = 0.585786\)，对应 \(w_1 = 0.853553\)；\(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 3.414214\)，对应 \(w_2 = 0.146447\)。加权和为 $$0.853553 \times 0.343146 + 0.146447 \times 11.656854 = 0.292893 + 1.707107 = 2.000000$$ 与精确值完全吻合，因为 \(x^2\) 是次数为 2 的多项式，满足 \(2 \le 2n-1 = 3\)。
常见问题
参数 \(\alpha\) 有什么作用？它决定权函数 \(x^{\alpha} \cdot e^{-x}\) 中的指数。标准高斯-拉盖尔求积取 \(\alpha = 0\)。取值必须满足 \(\alpha > -1\)，权函数才可积。
为什么我的结果不准确？要么被积函数不够光滑，要么它在 \((0, \infty)\) 上衰减得不够快。该公式总会返回一个有限数值，但只有当真正的积分收敛、且被积函数能被「多项式乘以权函数」很好地近似时，结果才有意义。可以增大 \(n\) 来检验收敛情况。
f 模式和 g 模式有什么区别？在 f 模式下，你只输入乘在内置权函数上的因子；在 g 模式下，你输入整个被积函数，工具会在求和内部把权函数除去。只要设置一致，两种模式给出的答案相同。
