这个计算器能做什么
本工具用于计算经典高斯求积法则的节点（横坐标 \(x_i\)）和权重 \(w_i\)。有了它们，你就能把一个带权积分近似为有限项的加权求和；对于标准高斯法则，可以精确积分次数不超过 \(2n-1\) 的多项式。支持的法则包括：高斯-勒让德、第一类与第二类切比雪夫、广义拉盖尔、埃尔米特、雅可比，以及高斯-洛巴托。
使用方法
先在"法则类型（Kinds）"中选择一种法则，再设定阶数 \(n\)（即节点个数，取值 2 到 100）。如果选择拉盖尔或雅可比法则，还需填入指数参数 Alpha 和 Beta（两者都必须大于 \(-1\)）。计算结果会列出每个节点及其对应权重，并给出权重之和——它应当等于权函数的零阶矩（勒让德为 2，埃尔米特为根号 \(\pi\)）。
公式解析
对于满足三项递推关系的一族正交多项式，节点就是 \(n\) 次多项式的根，而权重则由对称三对角雅可比矩阵 \(J\) 的特征向量给出（即 Golub-Welsch 方法）：$$w_i = \mu_0\, (v_{1,i})^2.$$切比雪夫法则采用精确的三角函数闭式公式；勒让德和洛巴托法则在勒让德多项式上使用牛顿迭代求根；拉盖尔、埃尔米特和雅可比法则则借助雅可比矩阵特征值求解器。
实例演示
取 \(n = 2\) 的高斯-勒让德法则：节点为正负 \(\frac{1}{\sqrt{3}} = 0.5773502692\)，两个权重均为 1，因此权重之和为 2。验证一下：\(x^2\) 在区间 \([-1, 1]\) 上的积分为 \(\frac{2}{3}\)，而该法则给出 $$1\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3},$$结果完全一致。
![Symmetric Gauss-Legendre nodes on [-1,1] with weight bars tallest at the center](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-3af7a8df1c/gauss-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
常见问题
为什么权重应当为正？经典高斯法则的所有权重都严格为正；一旦出现负权重，往往意味着出现了数值误差。
权重之和代表什么？它等于权函数在整个区间上的积分（即零阶矩）。以埃尔米特为例，\(e^{-x^2}\) 在整条实轴上的积分为 \(\sqrt{\pi}\)。
为什么 Alpha 和 Beta 必须大于 \(-1\)？否则权函数不可积，各阶矩会发散，也就不存在有效的求积法则。
