什么是圆内接正方形计算器？
这个工具用来求出能画在圆内部的最大正方形（即内接正方形）。要让正方形尽可能大，它的四个顶点都必须落在圆周上，这就意味着正方形的对角线恰好等于圆的直径。只需输入一个数据——圆的半径，计算器就能算出正方形的边长、对角线、面积、周长，以及正方形占据了圆多大的面积。
使用方法
输入圆的半径（\(r\)），单位随你选（厘米、英寸、米都可以——计算结果会用相同的单位输出）。点击「计算」即可看到内接正方形的各项尺寸。无论是做设计排版、木工制作、CNC 切割、铺贴瓷砖，还是写几何作业，它都能派上用场。
公式详解
由于正方形的对角线等于圆的直径，所以对角线为 \(d = 2r\)。设正方形边长为 \(s\)，其对角线为 \(s\sqrt{2}\)，令 \(s\sqrt{2} = 2r\)，即可求出边长：
$$s = r\sqrt{2}$$于是面积为 \(A = s^{2} = 2r^{2}\)，周长为 \(P = 4s\)。填充率是正方形面积与圆面积（\(\pi r^{2}\)）之比：\(\dfrac{2r^{2}}{\pi r^{2}} = \dfrac{2}{\pi} \approx 63.66\%\)。
实例演算
假设 \(r = 5\)。边长 \(s = 5 \times \sqrt{2} \approx 7.07\)。对角线为 \(2 \times 5 = 10\)（即直径）。面积为 \(2 \times 5^{2} = 50\)。周长为 \(4 \times 7.07 \approx 28.28\)。该正方形大约覆盖圆面积的 \(63.66\%\)。
常见问题
为什么对角线就是直径？最大的内接正方形四个顶点都在圆周上，因此连接对角两顶点的线必然经过圆心——而这条线正是圆的直径。
正方形覆盖了圆的多大比例？始终是 \(\dfrac{2}{\pi} \approx 63.66\%\)，与半径大小无关。
能不能反过来用边长推算？可以：已知边长 \(s\)，半径为 \(r = \dfrac{s}{\sqrt{2}}\)，圆的直径就是正方形的对角线 \(s\sqrt{2}\)。
