円に内接する正方形の計算機とは？
このツールは、円の中に描ける最大の正方形（内接正方形）を求めます。最大の正方形にするには、四つの頂点すべてが円周に接している必要があり、このとき正方形の対角線は円の直径とぴったり一致します。入力するのは円の半径ひとつだけ。あとは正方形の一辺の長さ、対角線、面積、周の長さ、そして正方形が円のどれだけを占めているか（占有率）を自動で算出します。
使い方
円の半径（\(r\)）を入力してください。単位はcm・インチ・メートルなど何でも構いません（答えも同じ単位で表示されます）。「計算する」を押すと、内接正方形の各寸法が表示されます。デザインのレイアウト、木工、CNC加工、タイル貼り、幾何の宿題など、さまざまな場面で活用できます。
計算式の解説
正方形の対角線は円の直径に等しいので、対角線は \(d = 2r\) となります。一辺が \(s\) の正方形の対角線は \(s\sqrt{2}\) なので、\(s\sqrt{2} = 2r\) を解くと一辺が求まります。
$$s = r\sqrt{2}$$ です。面積は $$A = s^2 = 2r^2$$、周の長さは $$P = 4s$$ となります。占有率は、正方形の面積と円の面積（\(\pi r^2\)）を比べたもので、$$\frac{2r^2}{\pi r^2} = \frac{2}{\pi} \approx 63.66\%$$ です。
計算例
\(r = 5\) の場合を考えてみましょう。一辺は $$s = 5 \times \sqrt{2} \approx 7.07$$ です。対角線は \(2 \times 5 = 10\)（＝直径）です。面積は \(2 \times 5^2 = 50\) です。周の長さは \(4 \times 7.07 \approx 28.28\) です。この正方形は円の面積の約 \(63.66\%\) を覆います。
よくある質問
なぜ対角線が直径になるのですか？ 最大の内接正方形は四つの頂点が円周上にあるため、向かい合う頂点を結ぶ線は円の中心を通ります。その線がまさに直径です。
正方形は円のどのくらいの割合を覆いますか？ 半径に関係なく、常に \(2/\pi \approx 63.66\%\) です。
一辺から逆算できますか？ はい。一辺 \(s\) がわかっていれば、半径は \(r = s / \sqrt{2}\)、円の直径は正方形の対角線 \(s\sqrt{2}\) で求められます。
