ひもで地球を一周する問題の計算機｜浮き上がる高さを求める

計算を入力してください

結果

表面から浮き上がる高さ

0.159155

meters (15.92 cm)

元の周長	40,030,173.59 m
新しい周長	40,030,174.59 m
隙間（センチメートル）	15.9155 cm
足した長さ（周長に対する割合）	0.000002 %

「ひもで地球を一周する問題」とは？

地球の赤道にぴったりとひもを巻きつけたとしましょう。そのひもにたった1メートルだけ長さを足し、どこでも均等に表面から浮かぶように持ち上げたら、いったいどれくらいの隙間ができるでしょうか。意外な答えは「約16センチメートル」。しかも、この値は地球の大きさにまったく関係しません。同じ1メートルを足せば、バスケットボールに巻いたひもでも、木星に巻いたひもでも、ちょうど同じ16cmだけ浮き上がるのです。

ぴったり巻いたひもと少し長いひもがあり、表面の上に一定の隙間ができている球 — 球を囲むひもの長さを足すと、表面から一定の高さ $h$ だけ持ち上がる。

公式を解説

周の長さが$C$の円の半径は $r = C/(2\pi)$ です。ここに長さ $\Delta C$ を足すと、新しい半径は $(C + \Delta C)/(2\pi)$ になります。隙間は半径の差として求められます。

$$h = \frac{C + \Delta C}{2\pi} - \frac{C}{2\pi} = \frac{\Delta C}{2\pi}$$

元の半径がきれいに打ち消し合うため、結果は球の大きさに左右されません。重要なのは「ひもにどれだけ長さを足したか」だけなのです。

半径 r と、内側と外側の円の間に加わった隙間 h を示す2つの同心円 — 増えた円周 $\Delta C$ は均等に広がり、半径が $h = \Delta C/(2\pi)$ だけ増える。

この計算機の使い方

球の半径（初期値は地球の平均半径約6,371,000 m）と、ひもに足したい追加の長さを入力してください。隙間の高さをメートルとセンチメートルで表示するほか、参考として元の周長と新しい周長も計算します。

計算例

ひもに $\Delta C = 1 \text{ m}$ を足してみましょう。すると $$h = \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{6.2832} \approx 0.15915 \text{ m} \approx 15.92 \text{ cm}$$ 地球を一周ぐるりと、手を差し込めるくらいの隙間ができる計算です。