地球の曲率計算機とは？
このツールは、ある距離だけ離れたとき、地表が直線（接線）からどれだけ「落ち込む」かを推定し、また目線の高さから水平線までどれだけ遠くを見渡せるかを計算します。計算には、平均半径 \(R = 6{,}371{,}000\) メートル（6,371 km）の球体モデルを用いています。これらは純粋に幾何学的な計算であり、世界中どこでも通用する普遍的なものです。特定の国のデータは一切必要ありません。
使い方
直線距離をキロメートル単位で入力します。さらに観測者の目線の高さをメートル単位で入力すると、水平線までの距離も計算できます。計算ボタンを押すと、正確な落ち込み量・簡易な近似値・水平線までの距離が表示されます。
計算式の解説
正確な曲率による落ち込み量は $$\text{落ち込み量} = R - \sqrt{R^{2} - d^{2}}$$ で求められます。ここで \(d\) は観測者から視線方向に沿った距離です。日常的な距離（\(d\) が \(R\) よりもはるかに小さい場合）では、これは $$\text{落ち込み量} \approx \frac{d^{2}}{2R}$$ でほぼ正確に近似でき、計算もずっと簡単になります。目線の高さ \(h\) から見える水平線までの距離は $$D = \sqrt{2Rh + h^{2}}$$ です。
計算例
距離 10 km の場合、\(d = 10{,}000\) m となります。近似による落ち込み量は $$\frac{d^{2}}{2R} = \frac{100{,}000{,}000}{12{,}742{,}000} \approx 7.85\ \text{m}$$ です。正確な値は $$R - \sqrt{R^{2} - d^{2}} \approx 7.848\ \text{m}$$ となり、ほぼ同じです。このスケールでは近似が非常に優れていることがわかります。
よくある質問
大気の屈折は考慮されていますか？ いいえ。これらは純粋な幾何学的計算です。現実の世界では大気の屈折によって、実際よりもわずかに遠くまで見えることが多く、これは真の半径の約7/6にあたる「有効半径」を用いてモデル化されることがよくあります。
なぜ正確値と近似値がこれほど近いのですか？ 数十キロメートル程度の距離では、\(d^{2}\) は \(R^{2}\) に比べて非常に小さいため、平方根を展開したときの高次の項が無視できるほど小さくなるからです。
どの半径が使われていますか？ 地球の平均半径である 6,371 km です。これは赤道半径と極半径の標準的な平均値です。
