什么是地球曲率计算器？
这个工具用来估算：在给定的距离上，地球表面相对于一条笔直切线"下沉"了多少；以及从某一眼睛高度望出去，地平线大约在多远处。计算采用球形地球模型，取平均半径 \(R = 6{,}371{,}000\) 米（即 6,371 km）。这些都是纯几何运算，具有普适性——无论你身处地球上任何地方都适用，不依赖任何特定国家或地区的数据。
如何使用
输入直线距离（单位：千米）。如果还想算出到地平线的距离，可以另外填写你的观测眼睛高度（单位：米，可选）。点击计算，即可看到精确下沉量、简化的近似下沉量，以及你的地平线距离。
公式详解
精确的曲率下沉量为
$$\text{下沉量} = R - \sqrt{R^{2} - d^{2}}$$其中 \(d\) 是观测者沿视线方向的距离。对于日常生活中的距离（此时 \(d\) 远小于 \(R\)），可以用
$$\text{下沉量} \approx \frac{d^{2}}{2R}$$来近似，计算起来要简单得多。从眼睛高度 \(h\) 望出去的地平线距离为
$$D = \sqrt{2Rh + h^{2}}$$Advertisement
实例演算
以 10 km 的距离为例，\(d = 10{,}000\) 米。近似下沉量为
$$\frac{d^{2}}{2R} = \frac{100{,}000{,}000}{12{,}742{,}000} \approx 7.85 \text{ 米}$$精确值则为
$$R - \sqrt{R^{2} - d^{2}} \approx 7.848 \text{ 米}$$——两者几乎完全一致，说明在这个尺度下近似公式的精度非常高。
常见问题
计算结果考虑大气折射了吗？ 没有——这些都是纯几何结果。在真实环境中，大气折射通常会让你看得稍微更远一些，常用的处理办法是把有效半径取为真实半径的约 7/6 倍。
为什么精确值和近似值这么接近？ 因为在几十千米的距离范围内，\(d^{2}\) 相比 \(R^{2}\) 实在太小了，所以平方根展开式中的高阶项可以忽略不计。
用的是哪个半径？ 采用地球平均半径 6,371 km，这是介于赤道半径与极半径之间的一个标准平均值。
