В чём суть задачи о верёвке вокруг Земли?
Представьте, что вокруг земного экватора плотно обвита верёвка. Если добавить к её длине всего один метр и приподнять так, чтобы она равномерно «зависла» над поверхностью по всей окружности, какой получится зазор? Удивительно, но ответ — около 16 сантиметров, и он совершенно не зависит от размеров Земли. Тот же лишний метр приподнимет верёвку вокруг баскетбольного мяча или вокруг Юпитера ровно на те же 16 см.
Разбираем формулу
У окружности длиной C радиус равен \(r = C/(2\pi)\). Если добавить длину \(\Delta C\), новый радиус станет \((C + \Delta C)/(2\pi)\). Зазор — это разность радиусов:
$$h = \frac{C + \Delta C}{2\pi} - \frac{C}{2\pi} = \frac{\Delta C}{2\pi}$$
Исходный радиус полностью сокращается — именно поэтому результат не зависит от размера шара. Важна только та длина, которую вы добавили.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус вашего шара (по умолчанию стоит средний радиус Земли — около 6 371 000 м) и дополнительную длину, которую хотите добавить к верёвке. Калькулятор покажет высоту зазора в метрах и сантиметрах, а также исходную и новую длину окружности для наглядности.
Разбор примера
Добавим \(\Delta C = 1\) м верёвки. Тогда $$h = \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{6{,}2832} \approx 0{,}15915 \text{ м} \approx 15{,}92 \text{ см}$$ — этого хватит, чтобы просунуть руку под верёвку по всей окружности планеты.
Частые вопросы
Почему размер Земли не имеет значения? Потому что при вычитании слагаемое с радиусом сокращается; зазор зависит только от добавленной длины, делённой на \(2\pi\).
Обязательно ли поднимать верёвку равномерно? Да — в этой задаче предполагается, что зазор одинаков по всей окружности. Если потянуть верёвку вверх в одной точке, локальный зазор окажется гораздо больше.
А если, наоборот, убрать длину? Введите отрицательную добавленную длину, и зазор станет отрицательным — это значит, что верёвке пришлось бы «врезаться» под поверхность, чтобы поместиться.
