Что считает этот калькулятор?
Инструмент вычисляет объём, площадь боковой поверхности и полную площадь поверхности прямого кругового цилиндра, срезанного наклонной плоскостью. Речь идёт о цилиндре радиусом \(r\), верх которого срезан одной плоской плоскостью, не параллельной основанию. В результате такого среза одна сторона получается низкой — её вертикальная высота \(h_1\), а противоположная высокой — высотой \(h_2\). Снизу фигура ограничена плоским кругом, а сверху — эллипсом. Все три значения вводятся в одной и той же единице длины: объём получается в кубических единицах, а площади — в квадратных.
Как пользоваться
Введите радиус \(r\), меньшую высоту (низкая сторона) \(h_1\) и большую высоту (высокая сторона) \(h_2\). Условия следующие: \(r > 0\), \(h_1 \geq 0\) и \(h_2 \geq h_1\). Если вы случайно укажете \(h_1\) больше, чем \(h_2\), калькулятор сам поменяет их местами — по сути это лишь вопрос названия сторон, геометрия от этого не меняется.
Разбор формул
Наклонная верхняя грань проходит через линию центра тяжести, поэтому объём равен объёму обычного цилиндра, высота которого равна среднему арифметическому двух сторон: $$V = \pi \, r^{2} \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}$$ Если развернуть боковую стенку на плоскость, получим площадь боковой поверхности $$S_{\text{side}} = \pi \, r \, (h_1 + h_2)$$ Косой срез представляет собой эллипс с малой полуосью \(r\) и большой полуосью \(r / \cos(\theta)\), где \(\tan(\theta) = \frac{h_2 - h_1}{2r}\); его площадь равна $$A_{\text{top}} = \pi \, r^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{2r}\right)^{2}}$$ Добавив площадь плоского основания \(A_{\text{base}} = \pi \, r^{2}\), получаем полную площадь поверхности $$S = S_{\text{side}} + A_{\text{top}} + A_{\text{base}}$$
Пример расчёта
Пусть \(r = 5\), \(h_1 = 8\), \(h_2 = 12\). Тогда средняя высота \(h_{\text{Mean}} = 10\), значит \(V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \approx 785{,}398\). Боковая поверхность \(= \pi \cdot 5 \cdot 20 = 100\pi \approx 314{,}159\). Наклон равен \(\frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = 0{,}4\), поэтому \(A_{\text{top}} = \pi \cdot 25 \cdot \sqrt{1{,}16} \approx 84{,}590\). Основание \(= 25\pi \approx 78{,}540\). Полная площадь поверхности \(\approx 314{,}159 + 84{,}590 + 78{,}540 = 477{,}289\).
Частые вопросы
А если \(h_1\) равно \(h_2\)? Тогда тело превращается в обычный цилиндр: наклон равен нулю, оба торца — круги площадью \(\pi r^{2}\), и все формулы корректно сводятся к привычному виду.
Почему верх больше основания? Наклонная плоскость, пересекающая цилиндр, в сечении даёт эллипс, площадь которого всегда больше площади перпендикулярного кругового сечения.
Нужно ли переводить единицы? Достаточно лишь того, чтобы все три входных значения были в одной единице. Тогда результаты автоматически получатся в этой единице в кубе (объём) или в квадрате (площади).
