ما هي حاسبة حجم الأسطوانة المقطوعة؟
تحسب هذه الأداة الحجم والمساحة الجانبية والمساحة السطحية الكلية لأسطوانة دائرية قائمة مقطوعة بشكل مائل — أي أسطوانة نصف قطرها \(r\) قُطِع سطحها العلوي بمستوٍ مسطّح واحد غير موازٍ للقاعدة. ينتج عن هذا القطع جانب قصير بارتفاع عمودي \(h_1\) وجانب طويل بارتفاع عمودي \(h_2\). تكون القاعدة السفلية دائرة مسطّحة بينما السطح العلوي قطع ناقص (شكل بيضاوي). تشترك المدخلات الثلاثة جميعها في نفس وحدة الطول؛ فيظهر الحجم بالوحدة المكعّبة، وتظهر المساحات بالوحدة المربّعة.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف القطر \(r\)، والارتفاع الأدنى (الجانب القصير) \(h_1\)، والارتفاع الأقصى (الجانب الطويل) \(h_2\). ويُشترط أن يكون \(r > 0\)، وأن يكون \(h_1 \geq 0\)، وأن يكون \(h_2 \geq h_1\). وإذا أدخلت بالخطأ قيمة \(h_1\) أكبر من \(h_2\)، فإن الحاسبة تبدّل بينهما تلقائيًا، لأن الشكل الهندسي متماثل في التسمية.
شرح المعادلات
يمرّ السطح العلوي المائل عبر خط مركز الثقل، لذا يساوي الحجم حجم أسطوانة عادية ارتفاعها هو متوسط الجانبين: $$V = \pi \, r^{2} \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}$$ وعند فرد الجدار المنحني نحصل على المساحة الجانبية $$S_{\text{side}} = \pi \, r \, (h_1 + h_2)$$ أما القطع المائل فهو قطع ناقص نصف محوره الأصغر \(r\) ونصف محوره الأكبر \(r / \cos(\theta)\)، حيث \(\tan(\theta) = \frac{h_2 - h_1}{2r}\)؛ ومساحته $$A_{\text{top}} = \pi \, r^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{2r}\right)^{2}}$$ وبإضافة القاعدة المسطّحة \(A_{\text{base}} = \pi \, r^{2}\) نحصل على المساحة السطحية الكلية $$S = S_{\text{side}} + A_{\text{top}} + A_{\text{base}}$$
مثال تطبيقي محلول
لنفترض أن \(r = 5\)، و\(h_1 = 8\)، و\(h_2 = 12\): يكون متوسط الارتفاع \(h_{\text{Mean}} = 10\)، ومن ثَمّ $$V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \approx 785.398$$ المساحة الجانبية \(= \pi \cdot 5 \cdot 20 = 100\pi \approx 314.159\). الميل \(= \frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = 0.4\)، لذا \(A_{\text{top}} = \pi \cdot 25 \cdot \sqrt{1.16} \approx 84.590\). القاعدة \(= 25\pi \approx 78.540\). المساحة السطحية الكلية \(\approx 314.159 + 84.590 + 78.540 = 477.289\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا تساوى h1 مع h2؟ يتحوّل المجسّم إلى أسطوانة عادية: يصبح الميل صفرًا، ويكون طرفاها دائرتين مساحة كلٍّ منهما \(\pi r^{2}\)، وتؤول المعادلات إلى نتيجتها الصحيحة.
لماذا يكون السطح العلوي أكبر من القاعدة؟ لأن المستوى المائل الذي يقطع الأسطوانة يرسم قطعًا ناقصًا، ومساحته دائمًا أكبر من مساحة المقطع الدائري العمودي.
هل أحتاج إلى تحويل الوحدات؟ كل ما يلزم هو أن تستخدم المدخلات الثلاثة نفس الوحدة. عندها تأتي النتائج تلقائيًا بهذه الوحدة مكعّبة (للحجم) أو مربّعة (للمساحات).
