ما هو المخروط الناقص؟
المخروط الناقص — ويُعرف أيضًا بالمخروط المقطوع (Conical Frustum) — هو المجسم الذي نحصل عليه عند قطع رأس المخروط بمستوٍ موازٍ لقاعدته. يتكوّن من وجهين دائريين: قاعدة سفلية أكبر نصف قطرها \(R\)، ودائرة علوية أصغر نصف قطرها \(r\)، يفصل بينهما ارتفاع عمودي \(h\). ومن أمثلته في حياتنا اليومية أكواب الشرب والدلاء وأصص الزرع وأباجورات الإضاءة وصوامع الحبوب.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف القطر السفلي (R) ونصف القطر العلوي (r) والارتفاع العمودي (h) باستخدام وحدة قياس موحّدة للجميع. ستعرض لك الحاسبة الحجم المحصور بالوحدة المكعّبة المقابلة. وإذا كنت تعرف الأقطار فقط، فاقسم كلًا منها على 2 للحصول على نصف القطر أولًا. يمكن أن يتساوى نصفا القطرين (فينتج عندها أسطوانة)، أو أن يكون نصف القطر العلوي صفرًا (فينتج مخروط كامل).
شرح المعادلة
يُحسب حجم المخروط الناقص بالمعادلة $$V = \frac{1}{3}\pi\,\text{Height (h)}\left(\text{R}^{2} + \text{R}\,\text{r} + \text{r}^{2}\right)$$ والحد الموجود بين القوسين \(R^{2} + R\cdot r + r^{2}\) يجمع بين مساهمتَي الوجهين الدائريين معًا. فعندما يكون \(r = R\) تتبسّط المعادلة إلى \(\pi\cdot R^{2}\cdot h\) (أي أسطوانة)، وعندما يكون \(r = 0\) تتحوّل إلى \(\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot R^{2}\cdot h\) (أي مخروط) — وهذا يؤكد أن المعادلة تتصرف بشكل صحيح عند الطرفين كليهما.
مثال محلول
لنفترض أن لدينا دلوًا نصف قطره السفلي \(R = 5\) سم، ونصف قطره العلوي \(r = 3\) سم، وارتفاعه \(h = 10\) سم. عندها يكون \(R^{2} + R\cdot r + r^{2} = 25 + 15 + 9 = 49\). وبالتالي $$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 10\cdot 49 = \frac{490}{3}\cdot\pi \approx 513.13 \text{ سم}^3.$$
الأسئلة الشائعة
هل يهم أي من نصفي القطرين في الأعلى؟ لا. المعادلة متماثلة في \(R\) و \(r\)، لذا فإن تبديلهما يعطي الحجم نفسه.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ تصلح أي وحدة طول ما دامت القياسات الثلاثة جميعها بالوحدة نفسها؛ وتأتي النتيجة بمكعّب تلك الوحدة.
هل أحتاج إلى "الارتفاع المائل"؟ ليس لحساب الحجم — إذ يُستخدم الارتفاع العمودي \(h\) فقط. أما الارتفاع المائل فهو لازم لحساب المساحة السطحية وليس الحجم.
