Qu'est-ce qu'un tronc de cône ?
Un tronc de cône — aussi appelé cône tronqué — est le solide obtenu lorsqu'on coupe le sommet d'un cône par un plan parallèle à sa base. Il possède deux faces circulaires : un grand cercle de base de rayon R et un petit cercle supérieur de rayon r, séparés par une hauteur perpendiculaire h. On en croise tous les jours : gobelets, seaux, pots de fleurs, abat-jour ou encore silos à grain.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le rayon de la base (R), le rayon supérieur (r) et la hauteur verticale (h) dans une même unité. Le calculateur renvoie le volume intérieur dans l'unité cubique correspondante. Si vous ne connaissez que les diamètres, divisez chacun par 2 pour obtenir le rayon. Les deux rayons peuvent être égaux (on retrouve alors un cylindre) ou le rayon supérieur peut être nul (on retrouve un cône complet).
La formule expliquée
Le volume d'un tronc de cône est donné par $$V = \frac{1}{3}\pi\,h\left(R^{2} + R\cdot r + r^{2}\right)$$. Le terme entre parenthèses \(R^{2} + R\cdot r + r^{2}\) combine les contributions des deux faces circulaires. Lorsque \(r = R\), l'expression se simplifie en \(\pi R^{2} h\) (un cylindre) ; lorsque \(r = 0\), elle se réduit à \(\frac{1}{3}\pi R^{2} h\) (un cône) — ce qui confirme que la formule reste cohérente dans ces deux cas limites.
Exemple concret
Imaginons un seau dont le rayon de la base vaut \(R = 5\) cm, le rayon supérieur \(r = 3\) cm et la hauteur \(h = 10\) cm. On a alors \(R^{2} + R\cdot r + r^{2} = 25 + 15 + 9 = 49\). D'où $$V = \frac{1}{3}\pi\cdot 10\cdot 49 = \frac{490}{3}\pi \approx 513{,}13 \text{ cm}^{3}.$$
FAQ
Le choix du rayon placé en haut a-t-il une importance ? Non. La formule est symétrique en \(R\) et \(r\) : permuter les deux donne exactement le même volume.
Quelles unités utiliser ? N'importe quelle unité de longueur convient, à condition que les trois mesures partagent la même ; le résultat s'exprime dans cette unité au cube.
A-t-on besoin de la « hauteur oblique » (apothème) ? Pas pour le volume : seule la hauteur perpendiculaire \(h\) intervient. La hauteur oblique sert au calcul de la surface, pas du volume.
