कटा शंकु क्या होता है?
कटा शंकु — जिसे शंक्वाकार फ्रस्टम भी कहते हैं — वह ठोस आकृति है जो किसी शंकु के ऊपरी सिरे को उसके आधार के समानांतर काटने पर बनती है। इसके दो गोलाकार फलक होते हैं: एक बड़ा निचला वृत्त जिसकी त्रिज्या \(R\) है और एक छोटा ऊपरी वृत्त जिसकी त्रिज्या \(r\) है, और इन दोनों के बीच लंबवत ऊँ␇चाई \(h\) होती है। रोज़मर्रा के उदाहरणों में पानी के गिलास, बाल्टी, फूलों के गमले, लैंपशेड और अनाज के साइलो शामिल हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
निचली त्रिज्या (R), ऊपरी त्रिज्या (r) और लंबवत ऊँचाई (h) को किसी एक ही इकाई में दर्ज करें। कैलकुलेटर उसी इकाई के घन में बंद आयतन दिखा देगा। अगर आपके पास केवल व्यास हैं, तो त्रिज्या निकालने के लिए पहले प्रत्येक को 2 से भाग दें। दोनों त्रिज्याएँ बराबर भी हो सकती हैं (तब यह एक बेलन बन जाता है) या ऊपरी त्रिज्या शून्य हो सकती है (तब यह पूरा शंकु बन जाता है)।
सूत्र की व्याख्या
कटे शंकु का आयतन इस सूत्र से मिलता है:
$$V = \frac{1}{3}\pi\,\text{Height (h)}\left(\text{R}^{2} + \text{R}\,\text{r} + \text{r}^{2}\right)$$कोष्ठक के अंदर का पद \(R^{2} + R\cdot r + r^{2}\) दोनों गोलाकार फलकों के योगदान को मिलाकर दर्शाता है। जब \(r = R\) होता है तो यह \(\pi\cdot R^{2}\cdot h\) बन जाता है (एक बेलन); और जब \(r = 0\) होता है तो यह \(\frac{1}{3}\pi\cdot R^{2}\cdot h\) रह जाता है (एक शंकु) — इससे पुष्टि होती है कि सूत्र दोनों चरम स्थितियों में सही काम करता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए किसी बाल्टी की निचली त्रिज्या \(R = 5\) सेमी, ऊपरी त्रिज्या \(r = 3\) सेमी और ऊँचाई \(h = 10\) सेमी है। तब \(R^{2} + R\cdot r + r^{2} = 25 + 15 + 9 = 49\) होगा। इसलिए
$$V = \frac{1}{3}\cdot\pi\cdot 10\cdot 49 = \frac{490}{3}\pi \approx 513.13 \text{ सेमी}^{3}$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या इससे फ़र्क पड़ता है कि कौन-सी त्रिज्या ऊपर है? नहीं। सूत्र \(R\) और \(r\) में सममित है, इसलिए इन्हें आपस में बदल देने पर भी वही आयतन मिलता है।
मुझे कौन-सी इकाई का उपयोग करना चाहिए? कोई भी लंबाई की इकाई चलेगी, बशर्ते तीनों माप एक ही इकाई में हों; परिणाम उसी इकाई के घन में आएगा।
क्या "तिरछी ऊँचाई" (slant height) की ज़रूरत है? आयतन के लिए नहीं — केवल लंबवत ऊँचाई \(h\) का उपयोग होता है। तिरछी ऊँचाई की ज़रूरत पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए होती है, आयतन के लिए नहीं।
