पिरामिड फ्रस्टम क्या होता है?
जब किसी पिरामिड के ऊपरी हिस्से को उसके आधार के समानांतर एक तल से काट दिया जाता है, तो जो ठोस आकृति बचती है उसे पिरामिड फ्रस्टम (कटा हुआ पिरामिड) कहते हैं। इसके दो समानांतर फलक होते हैं — एक बड़ा निचला फलक और एक छोटा ऊपरी फलक — जो झुकी हुई भुजाओं से जुड़े रहते हैं। यह कैलकुलेटर इन्हीं दोनों समानांतर फलकों के क्षेत्रफल और उनके बीच की लंबवत ऊँचाई से सीधे आयतन निकाल देता है। इसलिए यह वर्गाकार, आयताकार, त्रिभुजाकार या किसी भी बहुभुज अनुप्रस्थ काट वाली आकृति के लिए काम करता है।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
निचले अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल (A1), ऊपरी अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल (A2) और दोनों समानांतर फलकों के बीच की लंबवत ऊँचाई (h) दर्ज करें। ध्यान रहे कि सभी मान एक ही इकाई प्रणाली में हों — अगर क्षेत्रफल वर्ग मीटर में और ऊँचाई मीटर में है, तो परिणाम घन मीटर में आएगा। "कैलकुलेट" पर क्लिक करते ही आपको तुरंत आयतन मिल जाएगा।
सूत्र की व्याख्या
यह आयतन प्रिज्मॉइड (सिम्पसन-शैली) संबंध पर आधारित है:
$$V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}\right)$$
यहाँ \(\sqrt{A_1 \cdot A_2}\) दोनों क्षेत्रफलों का गुणोत्तर माध्य (geometric mean) है, जो बीच वाले अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल को दर्शाता है। यह एक ही सूत्र हर स्थिति को संभाल लेता है: जब \(A_2 = 0\) हो, तो यह पूरे पिरामिड के आयतन \(V = \frac{h}{3}\cdot A_1\) में बदल जाता है, और जब \(A_1 = A_2\) हो, तो यह एक प्रिज़्म का आयतन \(V = h\cdot A\) दे देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी फ्रस्टम का निचला क्षेत्रफल 16, ऊपरी क्षेत्रफल 4 और ऊँचाई 6 है। तब \(\sqrt{16\cdot 4} = \sqrt{64} = 8\) होगा, इसलिए $$V = \frac{6}{3} \times (16 + 4 + 8) = 2 \times 28 = 56 \text{ घन इकाई}$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मुझे भुजाओं की लंबाई डालनी है या क्षेत्रफल? क्षेत्रफल डालें। अगर वर्गाकार आधार की भुजा s है, तो क्षेत्रफल \(s^2\) होगा। आयत के लिए यह लंबाई × चौड़ाई होगा।
अगर ऊपरी सिरा एक बिंदु हो तो? ऊपरी क्षेत्रफल \(A_2\) को 0 कर दें — तब सूत्र पूरे पिरामिड का आयतन दे देगा।
क्या अनुप्रस्थ काट के आकार से फ़र्क पड़ता है? नहीं। जब तक दोनों फलक समानांतर और समरूप हैं, यह सूत्र किसी भी बहुभुज के लिए काम करता है।
