पिरामिड फ्रस्टम क्या होता है?
जब किसी पिरामिड के ऊपरी हिस्से को आधार के समानांतर एक तल से काट दिया जाता है, तो जो ठोस आकृति बचती है उसे पिरामिड फ्रस्टम कहते हैं। इसमें दो समानांतर और समरूप सतहें होती हैं — एक बड़ा निचला आधार और एक छोटा ऊपरी आधार — जो समलंब (trapezoidal) भुजाओं से जुड़ी रहती हैं। यह कैलकुलेटर सबसे आम वर्गाकार फ्रस्टम के लिए बना है, जिसमें दोनों आधार वर्गाकार होते हैं, और यह निचली भुजा, ऊपरी भुजा तथा लंब ऊँचाई से आयतन की गणना करता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
निचले आधार की भुजा a, ऊपरी आधार की भुजा b और ऊँचाई h (दोनों समानांतर सतहों के बीच की सीधी दूरी) दर्ज करें। आप कोई भी एक समान इकाई इस्तेमाल कर सकते हैं; आयतन उसी की घन इकाई में मिलेगा। पूरा पिरामिड बनाने के लिए b = 0 रखें, और घन/प्रिज़्म के लिए b = a रखें।
सूत्र को समझें
आयतन निकालने के लिए प्रिज़्मॉइड (Simpson-शैली) नियम का उपयोग किया जाता है:
$$V = \frac{h}{3} \times \left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}\right)$$
यहाँ \(A_1 = a^2\) निचले आधार का क्षेत्रफल है और \(A_2 = b^2\) ऊपरी आधार का क्षेत्रफल। बीच का पद \(\sqrt{A_1 \cdot A_2}\) दोनों क्षेत्रफलों का गुणोत्तर माध्य (geometric mean) है, जो दोनों के बीच धीरे-धीरे होने वाली ढलान को ध्यान में रखता है। जब ऊपरी सतह सिकुड़कर एक बिंदु बन जाती है (b = 0), तो यह सूत्र \(V = h \cdot A_1 / 3\) बन जाता है, जो परिचित पिरामिड आयतन का सूत्र है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए एक फ्रस्टम है जिसकी निचली भुजा a = 6, ऊपरी भुजा b = 3 और ऊँचाई h = 4 है। तब \(A_1 = 36\), \(A_2 = 9\), और \(\sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{324} = 18\) होगा। इसलिए $$V = \frac{4}{3} \cdot (36 + 9 + 18) = \frac{4}{3} \cdot 63 = 84 \text{ घन इकाई।}$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह आयताकार फ्रस्टम के लिए काम करता है? यह उपकरण वर्गाकार आधार मानकर चलता है। आयताकार फ्रस्टम के लिए \(A_1\) और \(A_2\) को लंबाई × चौड़ाई के रूप में निकालें और वही सूत्र हाथ से लगाएँ।
मुझे कौन-सी ऊँचाई दर्ज करनी चाहिए? दोनों आधारों के बीच की लंब (खड़ी) ऊँचाई दर्ज करें, किसी भुजा की तिरछी ऊँचाई (slant height) नहीं।
क्या मैं पूरे पिरामिड का आयतन निकाल सकता हूँ? हाँ — बस ऊपरी भुजा b को 0 रख दें।
