Калькулятор усечённой пирамиды

Введите расчет

Сторона нижнего основания a (ед.)

Сторона верхнего основания b (ед.)

Высота h (ед.)

Результатов

Объём усечённой пирамиды

84

кубических единиц

Площадь нижнего основания (A₁)	36 sq units
Площадь верхнего основания (A₂)	9 sq units

Что такое усечённая пирамида?

Усечённая пирамида — это тело, которое остаётся, если у обычной пирамиды срезать вершину плоскостью, параллельной основанию. В результате получаются две параллельные подобные грани — большее нижнее основание и меньшее верхнее — соединённые боковыми гранями в форме трапеций. Этот калькулятор работает с самым распространённым случаем — квадратной усечённой пирамидой, у которой оба основания являются квадратами, и вычисляет её объём по стороне нижнего основания, стороне верхнего основания и высоте.

Усечённая четырёхугольная пирамида с нижней стороной a, верхней стороной b и высотой h.

Как пользоваться калькулятором

Введите сторону нижнего основания a, сторону верхнего основания b и высоту h (расстояние по прямой между двумя параллельными гранями). Используйте любые единицы измерения — главное, чтобы они были одинаковыми; объём будет выражен в соответствующих кубических единицах. Задайте b = 0, чтобы получить полную пирамиду, или b = a, чтобы смоделировать куб либо призму.

Разбор формулы

Объём вычисляется по формуле призматоида (правилу Симпсона):

$$V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}\right)$$

Здесь \(A_1 = a^2\) — площадь нижнего основания, а \(A_2 = b^2\) — площадь верхнего. Средний член \(\sqrt{A_1 \cdot A_2}\) — это среднее геометрическое двух площадей, которое учитывает плавное сужение тела от нижнего основания к верхнему. Когда верх сходится в точку (\(b = 0\)), формула упрощается до \(V = h \cdot A_1 / 3\) — хорошо знакомого объёма обычной пирамиды.

Реклама

Объём сочетает нижнюю площадь A1, верхнюю площадь A2 и высоту h.

Пример расчёта

Возьмём усечённую пирамиду со стороной нижнего основания \(a = 6\), стороной верхнего основания \(b = 3\) и высотой \(h = 4\). Тогда \(A_1 = 36\), \(A_2 = 9\), а \(\sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{324} = 18\). Получаем $$V = \frac{4}{3}\cdot(36 + 9 + 18) = \frac{4}{3}\cdot 63 = 84$$ кубических единицы.

Частые вопросы

Подходит ли калькулятор для прямоугольной усечённой пирамиды? Этот инструмент рассчитан на квадратные основания. Для прямоугольной пирамиды вычислите \(A_1\) и \(A_2\) как длину × ширину и примените ту же формулу вручную.

Какую высоту вводить? Используйте перпендикулярную (вертикальную) высоту между основаниями, а не апофему или длину наклонной боковой грани.

Можно ли найти объём полной пирамиды? Да — просто задайте сторону верхнего основания \(b = 0\).