ما هو الهرم الناقص؟
الهرم الناقص (أو جذع الهرم) هو المجسم المتبقي بعد قطع قمة الهرم بمستوٍ موازٍ للقاعدة. ينتج عن ذلك وجهان متوازيان ومتشابهان — قاعدة سفلية أكبر وقاعدة علوية أصغر — يربط بينهما أوجه جانبية على شكل شبه منحرف. تتعامل هذه الحاسبة مع الحالة الأكثر شيوعًا وهي الهرم الناقص المربع، حيث تكون كلتا القاعدتين مربعتين، وتحسب حجمه انطلاقًا من ضلع القاعدة السفلية وضلع القاعدة العلوية والارتفاع العمودي.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ضلع القاعدة السفلية a، وضلع القاعدة العلوية b، والارتفاع h (وهو المسافة المستقيمة بين الوجهين المتوازيين). استخدم أي وحدة قياس بشرط أن تكون موحّدة؛ وسيظهر الحجم بنفس هذه الوحدة مرفوعة إلى التكعيب. اضبط b = 0 لتمثيل هرم كامل، أو اجعل b = a لتمثيل مكعّب أو منشور.
شرح الصيغة الحسابية
يُحسب الحجم باستخدام قاعدة المجسم المنشوري (المعروفة بقاعدة سيمبسون):
$$V = \frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2}\right)$$
حيث \(A_1 = a^2\) هي مساحة القاعدة السفلية، و\(A_2 = b^2\) هي مساحة القاعدة العلوية. أما الحد الأوسط \(\sqrt{A_1 \cdot A_2}\) فهو المتوسط الهندسي للمساحتين، وهو يأخذ في الحسبان التضيّق التدريجي بينهما. وعندما تتقلّص القمة إلى نقطة واحدة (\(b = 0\)) تتبسّط الصيغة إلى \(V = h \cdot A_1 / 3\)، وهي الصيغة المعروفة لحجم الهرم الكامل.
مثال محلول
لنأخذ هرمًا ناقصًا ضلع قاعدته السفلية \(a = 6\)، وضلع قاعدته العلوية \(b = 3\)، وارتفاعه \(h = 4\). عندئذ تكون \(A_1 = 36\)، و\(A_2 = 9\)، و\(\sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{324} = 18\). وبالتالي $$V = \frac{4}{3}\cdot(36 + 9 + 18) = \frac{4}{3}\cdot 63 = 84 \text{ وحدة مكعبة.}$$
الأسئلة الشائعة
هل تصلح الحاسبة للأهرام الناقصة المستطيلة؟ تفترض هذه الأداة أن القاعدتين مربعتان. أما في حالة الهرم الناقص المستطيل، فاحسب \(A_1\) و\(A_2\) بضرب الطول في العرض، ثم طبّق الصيغة نفسها يدويًا.
أي ارتفاع ينبغي أن أُدخله؟ استخدم الارتفاع العمودي بين القاعدتين، وليس الارتفاع المائل لأحد الأوجه الجانبية.
هل يمكنني حساب حجم هرم كامل؟ نعم — ما عليك سوى ضبط ضلع القاعدة العلوية b على القيمة 0.
