ما هي حاسبة مكعبات الهرم المدرّج؟
تخبرك هذه الحاسبة بعدد المكعبات التي تحتاجها لبناء هرم مربّع مدرّج — وهو هيكل تكون فيه كل طبقة مربّعًا مصمتًا يتقلّص بمقدار مكعب واحد من كل جانب كلما صعدت إلى الأعلى. الطبقة السفلية هي الأعرض، أما الطبقة العلوية فتتكوّن من مكعب واحد فقط. إنها أداة عملية لبنّائي ألعاب الساندبوكس (مثل ماين كرافت وما شابهها)، ولصانعي المجسّمات، وللبنّائين الذين يرصّون المكعبات، وللطلاب الذين يتعلّمون مجاميع الأعداد المربّعة.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد الطبقات n التي تريدها للهرم، ثم اطّلع على العدد الإجمالي للمكعبات. تعرض الحاسبة أيضًا طول ضلع الطبقة القاعدية، وعدد المكعبات في تلك القاعدة، والمكعب المفرد في القمة.
شرح الصيغة
إذا كانت الطبقة العلوية 1×1، والطبقة التي تليها للأسفل 3×3، ثم 5×5، وهكذا، فإن ضلع الطبقة رقم k من الأعلى هو العدد الفردي \((2k-1)\). ورصّ \(n\) من هذه الطبقات يعني جمع مساحاتها:
$$\text{المجموع} = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n\,(2n-1)(2n+1)}{3}$$هذه الصيغة المغلقة هي مجموع أول \(n\) من مربّعات الأعداد الفردية المعروف جيدًا، وبها تتجنّب جمع كل طبقة يدويًا.
مثال محلول
لنفترض أنك تبني هرمًا من n = 3 طبقات. تكون الطبقات 1×1 و3×3 و5×5، أي \(1 + 9 + 25 = 35\) مكعبًا. وباستخدام الصيغة:
$$\frac{3 \times (2\cdot 3-1) \times (2\cdot 3+1)}{3} = \frac{3 \times 5 \times 7}{3} = \frac{105}{3} = 35 \text{ مكعبًا}$$ويبلغ ضلع الطبقة القاعدية \(2\cdot 3-1 = 5\) مكعبات، وتحتوي القاعدة على 25 مكعبًا.
الأسئلة الشائعة
هل تحسب هذه الأداة هرمًا مجوّفًا؟ لا. كل طبقة هي مربّع مصمت ممتلئ بالكامل، لذا فإن النتيجة تمثّل عدد المكعبات لهرم مدرّج مصمت تمامًا.
ماذا تعني كلمة "مدرّج"؟ تكون كل طبقة موضوعة في مركز الطبقة التي تحتها مع إزاحة للداخل بمقدار مكعب واحد من كل جانب، مما يخلق شكلًا يشبه الدرج بدلًا من المنحدرات الملساء.
ما ارتفاع الهرم؟ يساوي الارتفاع بعدد صفوف المكعبات عددَ الطبقات \(n\).
