피라미드 블록 계산기

결과

필요한 전체 블록 수

1,330

blocks for a 10-layer stepped square pyramid

층수	10
밑층 한 변 (블록)	19
밑층 블록 수	361
꼭대기층 블록 수	1

피라미드 블록 계산기란?

이 계산기는 계단식 사각뿔을 쌓는 데 블록이 몇 개나 필요한지 알려줍니다. 계단식 사각뿔은 한 층씩 올라갈수록 각 변이 블록 하나씩 줄어드는, 정사각형 층들이 차곡차곡 쌓인 구조물이에요. 맨 아래층이 가장 넓고, 맨 위층은 블록 한 개로 마무리됩니다. 마인크래프트 같은 샌드박스 게임에서 건축물을 짓는 분, 모형을 만드는 분, 정육면체 블록을 쌓아 올리는 석공, 그리고 홀수 제곱수의 합을 배우는 학생 모두에게 유용한 도구입니다.

변의 길이가 홀수로 줄어드는 정사각형 층을 큐브 블록으로 쌓은 계단형 사각뿔 — 계단형 사각뿔: 각 층은 홀수 변의 정사각형이며, 가장 작은 층을 맨 위에 두고 쌓는다.

사용 방법

만들고 싶은 피라미드의 층수 n을 입력하면, 필요한 전체 블록 수가 바로 나옵니다. 또한 맨 아래층(밑층)의 한 변 길이, 밑층에 들어가는 블록 수, 그리고 꼭대기에 놓이는 블록 한 개까지 함께 확인할 수 있습니다.

공식 자세히 보기

맨 위층이 1×1이고, 그 아래층이 3×3, 다시 5×5처럼 이어진다고 하면, 위에서부터 k번째 층의 한 변은 홀수 $(2k-1)$이 됩니다. 이렇게 $n$개의 층을 쌓는다는 것은 각 층의 면적을 모두 더하는 것과 같습니다.

$$\text{전체 블록 수} = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$

이 닫힌 형식의 공식은 처음 $n$개의 홀수 제곱수를 합한 잘 알려진 결과이므로, 층마다 일일이 계산해 더할 필요 없이 한 번에 답을 얻을 수 있습니다.

연속된 정사각형 층을 위에서 본 모습으로 1, 9, 25개의 블록이 홀수 제곱으로 나타남 — 위에서 보면 k번째 층은 변 (2k-1)의 홀수 정사각형이라 층마다 (2k-1)²개의 블록이 된다.

계산 예시

$n = 3$층짜리 피라미드를 만든다고 해봅시다. 각 층은 1×1, 3×3, 5×5이므로 $1 + 9 + 25 = 35$개의 블록이 필요합니다. 공식을 적용하면 $$\frac{3 \times (2\cdot 3-1) \times (2\cdot 3+1)}{3} = \frac{3 \times 5 \times 7}{3} = \frac{105}{3} = 35$$개로 똑같이 나옵니다. 밑층의 한 변은 $2\cdot 3-1 = 5$블록이고, 밑층에는 25개의 블록이 들어갑니다.