피라미드 블록 계산기

계산 입력

층수 (n)

결과

필요한 전체 블록 수

1,330

blocks for a 10-layer stepped square pyramid

층수	10
밑층 한 변 (블록)	19
밑층 블록 수	361
꼭대기층 블록 수	1

피라미드 블록 계산기란?

이 계산기는 계단식 사각뿔을 쌓는 데 블록이 몇 개나 필요한지 알려줍니다. 계단식 사각뿔은 한 층씩 올라갈수록 각 변이 블록 하나씩 줄어드는, 정사각형 층들이 차곡차곡 쌓인 구조물이에요. 맨 아래층이 가장 넓고, 맨 위층은 블록 한 개로 마무리됩니다. 마인크래프트 같은 샌드박스 게임에서 건축물을 짓는 분, 모형을 만드는 분, 정육면체 블록을 쌓아 올리는 석공, 그리고 홀수 제곱수의 합을 배우는 학생 모두에게 유용한 도구입니다.

계단형 사각뿔: 각 층은 홀수 변의 정사각형이며, 가장 작은 층을 맨 위에 두고 쌓는다.

사용 방법

만들고 싶은 피라미드의 층수 n을 입력하면, 필요한 전체 블록 수가 바로 나옵니다. 또한 맨 아래층(밑층)의 한 변 길이, 밑층에 들어가는 블록 수, 그리고 꼭대기에 놓이는 블록 한 개까지 함께 확인할 수 있습니다.

공식 자세히 보기

맨 위층이 1×1이고, 그 아래층이 3×3, 다시 5×5처럼 이어진다고 하면, 위에서부터 k번째 층의 한 변은 홀수 \((2k-1)\)이 됩니다. 이렇게 \(n\)개의 층을 쌓는다는 것은 각 층의 면적을 모두 더하는 것과 같습니다.

$$\text{전체 블록 수} = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$

이 닫힌 형식의 공식은 처음 \(n\)개의 홀수 제곱수를 합한 잘 알려진 결과이므로, 층마다 일일이 계산해 더할 필요 없이 한 번에 답을 얻을 수 있습니다.

위에서 보면 k번째 층은 변 (2k-1)의 홀수 정사각형이라 층마다 (2k-1)²개의 블록이 된다.

계산 예시

\(n = 3\)층짜리 피라미드를 만든다고 해봅시다. 각 층은 1×1, 3×3, 5×5이므로 \(1 + 9 + 25 = 35\)개의 블록이 필요합니다. 공식을 적용하면 $$\frac{3 \times (2\cdot 3-1) \times (2\cdot 3+1)}{3} = \frac{3 \times 5 \times 7}{3} = \frac{105}{3} = 35$$개로 똑같이 나옵니다. 밑층의 한 변은 \(2\cdot 3-1 = 5\)블록이고, 밑층에는 25개의 블록이 들어갑니다.

자주 묻는 질문

속이 빈 피라미드도 계산되나요? 아니요. 모든 층은 빈틈 없이 꽉 채운 정사각형이므로, 결과는 속이 완전히 찬 계단식 피라미드의 블록 수입니다.

"계단식"이란 무슨 뜻인가요? 각 층이 바로 아래층의 정중앙에 놓이되 각 변마다 블록 하나씩 안쪽으로 들어가, 매끄러운 경사면 대신 계단 모양의 윤곽이 만들어지는 것을 말합니다.

피라미드의 높이는 얼마인가요? 블록 줄(row) 기준 높이는 층수 \(n\)과 같습니다.