육각뿔이란?
정육각뿔은 정육각형을 밑면으로 하고, 밑면 중심 바로 위의 한 꼭짓점에서 만나는 여섯 개의 삼각형 면으로 이루어진 입체도형입니다. 이 도형은 단 두 가지 값으로 완전히 결정됩니다. 바로 밑변의 한 변 길이 a(육각형 한 변의 길이)와 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 높이 h입니다.
계산기 사용 방법
밑변 길이와 뿔의 높이를 동일한 단위(cm, m, in 등)로 입력하세요. 그러면 부피, 육각형 밑면의 넓이, 옆넓이, 겉넓이, 삼각형 면의 빗변 높이, 그리고 밑면의 둘레가 즉시 계산되어 표시됩니다.
공식 풀이
육각형 밑면의 넓이는 다음과 같이 구합니다.
$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}$$모든 뿔의 부피는 밑면 넓이에 높이를 곱한 뒤 3으로 나눈 값인데, 육각뿔의 경우 이를 정리하면 다음과 같이 됩니다.
$$V = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}\,h$$빗변 높이는 높이와 밑면의 아포뎀(중심에서 변까지의 거리) \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)를 이용해 피타고라스 정리로 구합니다:
$$l = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$$옆넓이는 삼각형 여섯 개를 합한 \(3\cdot a\cdot l\)이며, 겉넓이는 여기에 밑면 넓이를 더한 값입니다.
계산 예시
밑변 길이 \(a = 6\), 높이 \(h = 10\)인 경우를 살펴봅시다. 밑면 넓이 \(= \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 36 \approx 93.53\), 부피 \(= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 36\cdot 10 \approx 311.77\)입니다. 아포뎀은 \(\frac{6\sqrt{3}}{2} \approx 5.196\)이므로 빗변 높이는 \(\sqrt{100 + 27} \approx 11.27\)이 됩니다. 따라서 옆넓이 \(= 3\cdot 6\cdot 11.27 \approx 202.83\), 겉넓이는 약 \(296.36\)입니다.
자주 묻는 질문
어떤 단위를 사용하나요? 어떤 단위든 상관없으며, 변의 길이와 높이에 같은 단위만 쓰면 됩니다. 부피는 세제곱 단위, 넓이는 제곱 단위로 나옵니다.
여기서 높이는 빗변 높이를 말하나요? 아닙니다. 수직(직각) 높이를 입력하세요. 빗변 높이는 계산기가 알아서 구해 줍니다.
부정형(불규칙) 육각뿔에도 쓸 수 있나요? 아니요. 이 공식들은 밑면이 정육각형이고 꼭짓점이 밑면 중심 바로 위에 있는 경우를 전제로 합니다.
