허수 계산기란?
허수 단위 i는 \(i^2 = -1\)로 정의됩니다. i를 정수 거듭제곱으로 올리면 그 결과는 언제나 1, i, -1, -i 이 네 가지 값 중 하나로 정리됩니다. 이 계산기는 양수든 음수든 0이든 어떤 지수 n이라도 입력받아, \(i^n\)을 가장 간단한 형태로 정리해 주고 실수부와 허수부까지 함께 보여 줍니다.
사용 방법
i를 몇 제곱할지, 즉 지수 n을 입력하고 실행하면 됩니다. 계산기는 n을 4로 나눈 나머지(modulo 4)를 구해 그에 해당하는 값을 알려 줍니다. 나머지를 0~3 범위로 정규화하기 때문에 음수 지수도 정확하게 처리됩니다.
공식 풀이
i의 거듭제곱은 길이 4의 주기로 반복됩니다.
$$i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i$$ 그리고 \(i^4\)에서 다시 1로 돌아옵니다. 그래서 \(i^n\)은 n을 4로 나눈 나머지만큼 i를 거듭제곱한 값과 같습니다. 음수 n까지 고려해 지수가 항상 0, 1, 2, 3 중 하나가 되도록 $$((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4$$를 계산한 뒤, 이 값을 해당 결과로 연결합니다.
예제로 보기
\(i^{30}\)을 구해 봅시다. 30을 4로 나누면 \(30 = 4 \times 7 + 2\)이므로 \(30 \bmod 4 = 2\)입니다. 따라서 $$i^{30} = i^2 = -1$$이 됩니다. 실수부는 -1, 허수부는 0입니다.
자주 묻는 질문
\(i^0\)은 얼마인가요? 0이 아닌 어떤 수든 0제곱하면 1이므로 \(i^0 = 1\)입니다.
음수 거듭제곱은 어떻게 처리되나요? \(i^{-1} = 1/i = -i\)입니다. modulo 연산이 -1을 인덱스 3으로 정규화하므로 정확히 -i를 반환합니다.
왜 답이 네 가지뿐인가요? i를 곱하는 것은 복소평면에서 수를 90° 회전시키는 것과 같습니다. 네 번 회전하면 처음 위치로 돌아오기 때문에 4단계 주기가 만들어집니다.
