Что такое калькулятор мнимых чисел?
Мнимая единица i определяется равенством \(i^2 = -1\). Когда вы возводите i в любую целую степень, результат всегда сводится к одному из четырёх значений: 1, i, -1 или -i. Этот калькулятор принимает любой показатель n — положительный, отрицательный или ноль — и выдаёт \(i^n\) в простейшей форме вместе с действительной и мнимой частями.
Как пользоваться
Введите показатель степени n (степень, в которую нужно возвести i) и нажмите «Вычислить». Калькулятор берёт остаток от деления n на 4 и выдаёт соответствующее значение. Отрицательные показатели тоже обрабатываются правильно, потому что результат деления по модулю приводится к диапазону от 0 до 3.
Разбор формулы
Степени i образуют повторяющийся цикл длиной четыре:
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,(\text{n} \bmod 4)}$$
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$
\(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), а затем \(i^4 = 1\) — и всё повторяется снова. Поэтому \(i^n\) равно i в степени остатка от деления n на 4. Мы вычисляем \(((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4\), чтобы индекс всегда был равен 0, 1, 2 или 3 — даже для отрицательных n — а затем сопоставляем его с нужным значением.
Пример решения
Найдём \(i^{30}\). Разделим 30 на 4:
$$30 = 4 \times 7 + 2$$
значит, \(30 \bmod 4 = 2\). Следовательно, \(i^{30} = i^2 = -1\). Действительная часть равна -1, а мнимая часть — 0.
Частые вопросы
Чему равно \(i^0\)? Любое ненулевое основание в нулевой степени равно 1, поэтому \(i^0 = 1\).
Как обрабатываются отрицательные степени? \(i^{-1} = 1/i = -i\). Вычисление по модулю приводит -1 к индексу 3, который правильно возвращает -i.
Почему возможны только четыре ответа? Умножение на i поворачивает число на 90° на комплексной плоскости; четыре поворота возвращают вас в исходную точку, образуя цикл из 4 шагов.
