Máy Tính Số Ảo là gì?
Đơn vị ảo i được định nghĩa bởi \(i^2 = -1\). Mỗi khi bạn nâng i lên một số mũ nguyên, kết quả luôn rút gọn về đúng một trong bốn giá trị: 1, i, -1 hoặc -i. Công cụ này nhận mọi số mũ n — dương, âm hay bằng 0 — rồi trả về \(i^n\) ở dạng đơn giản nhất, kèm theo phần thực và phần ảo của nó.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập số mũ n (lũy thừa mà bạn muốn nâng i lên) rồi bấm tính. Máy tính sẽ lấy n chia lấy dư cho 4 và trả về giá trị tương ứng. Số mũ âm cũng được xử lý chính xác, vì kết quả phép chia lấy dư luôn được chuẩn hóa về khoảng 0–3.
Giải thích công thức
Các lũy thừa của i tạo thành một chu kỳ lặp lại với độ dài bằng bốn:
\(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), rồi \(i^4 = 1\) quay lại từ đầu. Chính vì vậy, \(i^n\) bằng i nâng lên phần dư của n khi chia cho 4.
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$Ta tính \(((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4\) để chỉ số luôn là 0, 1, 2 hoặc 3 — kể cả khi n âm — sau đó ánh xạ sang giá trị tương ứng.
Ví dụ minh họa
Hãy tìm \(i^{30}\). Lấy 30 chia cho 4:
$$30 = 4 \times 7 + 2, \quad 30 \bmod 4 = 2$$nên 30 mod 4 = 2. Do đó \(i^{30} = i^2 = -1\). Phần thực là -1 và phần ảo là 0.
Câu hỏi thường gặp
\(i^0\) bằng bao nhiêu? Mọi cơ số khác 0 nâng lên lũy thừa 0 đều bằng 1, vậy \(i^0 = 1\).
Số mũ âm được xử lý ra sao? \(i^{-1} = 1/i = -i\). Phép chia lấy dư chuẩn hóa -1 về chỉ số 3, và chỉ số này cho kết quả đúng là -i.
Vì sao chỉ có bốn kết quả có thể xảy ra? Nhân với i tương đương với việc quay một số đi 90° trong mặt phẳng phức; quay bốn lần sẽ đưa bạn trở về điểm xuất phát, tạo nên chu kỳ 4 bước.
