¿Qué es la calculadora de números imaginarios?
La unidad imaginaria i se define por la igualdad \(i^2 = -1\). Siempre que elevas i a una potencia entera, el resultado se reduce a uno de cuatro valores posibles: 1, i, -1 o -i. Esta calculadora acepta cualquier exponente n —positivo, negativo o cero— y devuelve \(i^n\) en su forma más simple, junto con sus partes real e imaginaria.
Cómo usarla
Escribe el exponente n (la potencia a la que quieres elevar i) y pulsa calcular. La herramienta reduce n módulo 4 y muestra el valor correspondiente. Los exponentes negativos se tratan correctamente, porque el resultado del módulo se ajusta al rango de 0 a 3.
La fórmula explicada
Las potencias de i forman un ciclo que se repite cada cuatro pasos:
\(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\), y luego \(i^4 = 1\) de nuevo. Por eso, \(i^n\) es igual a i elevado al resto de dividir n entre 4. Calculamos $$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$ para que el índice sea siempre 0, 1, 2 o 3 —incluso cuando n es negativo— y después lo asociamos a su valor.
Ejemplo resuelto
Calculemos \(i^{30}\). Dividimos 30 entre 4: $$30 = 4 \times 7 + 2,$$ así que \(30 \bmod 4 = 2\). Por lo tanto, \(i^{30} = i^2 = -1\). La parte real es -1 y la parte imaginaria es 0.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale \(i^0\)? Cualquier base distinta de cero elevada a 0 es 1, por lo que \(i^0 = 1\).
¿Cómo se tratan las potencias negativas? \(i^{-1} = 1/i = -i\). La aritmética del módulo normaliza -1 al índice 3, que devuelve correctamente -i.
¿Por qué solo hay cuatro respuestas posibles? Multiplicar por i equivale a girar un número 90° en el plano complejo; cuatro giros te devuelven al punto de partida, lo que genera el ciclo de 4 pasos.
