¿Qué es la cuadratura de Gauss-Hermite?
La cuadratura de Gauss-Hermite es un método numérico para aproximar integrales sobre toda la recta real que llevan el peso gaussiano \(e^{-x^2}\). La regla de n puntos aproxima la integral mediante una suma ponderada del integrando evaluado en n puntos cuidadosamente elegidos: la integral desde menos infinito hasta más infinito de \(e^{-x^2}f(x)\,dx\) es aproximadamente la suma sobre i de \(w_i f(x_i)\). $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$ Los nodos \(x_i\) son las raíces del polinomio de Hermite de los físicos \(H_n\), y los pesos \(w_i\) quedan determinados por la ortogonalidad de esos polinomios.
Cómo usar la calculadora
Elige el orden n (el número de puntos, de 2 a 100) y la cantidad de dígitos que quieres mostrar; después solo tienes que leer la tabla de nodos y pesos. Como el cálculo emplea precisión doble estándar, la precisión mostrada se limita a unas 15 cifras significativas: más allá de ese umbral, harían falta operaciones de precisión arbitraria para que los dígitos adicionales tuvieran sentido. La regla de n puntos integra de forma exacta todo polinomio de grado hasta \(2n-1\).
La fórmula explicada
Los nodos son los n ceros reales de \(H_n(x)\), definido por la recurrencia \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x H_k - 2k H_{k-1}\). Los pesos son $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\, \big[H_{n-1}(x_i)\big]^2}.$$ Esta calculadora utiliza el método estable de Golub-Welsch: construye la matriz de Jacobi tridiagonal simétrica (diagonal nula, fuera de la diagonal \(\sqrt{k/2}\)), halla sus valores propios (los nodos) y sus vectores propios, y asigna a cada peso el valor \(\sqrt{\pi}\) multiplicado por el cuadrado del primer componente del vector propio normalizado correspondiente. Así se evita el desbordamiento que provocan los factoriales grandes.
Ejemplo resuelto (n = 2)
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) tiene como raíces $$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475.$$ Cada peso es \(\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\). Como \(H_1(x)=2x\), se tiene \([H_1]^2 = 2\), así que $$\text{cada peso} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 1.7724538509055160}{4 \cdot 2} = 0.8862269254527580.$$ Su suma es \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\), una comprobación práctica.
Preguntas frecuentes
¿Por qué los pesos siempre suman sqrt(pi)? Al tomar \(f(x)=1\) se obtiene la integral de \(e^{-x^2}\) sobre la recta real, que vale \(\sqrt{\pi}\); la cuadratura la reproduce de forma exacta.
¿Qué convención de Hermite se utiliza aquí? La convención de los físicos, con peso \(e^{-x^2}\). Para el peso de los probabilistas \(e^{-x^2/2}\), los nodos y los pesos difieren por un cambio de escala.
¿Puedo integrar una función sin el factor e^(-x^2)? Sí: escribe \(g(x) = e^{x^2}f(x)\), de modo que la integral de g es aproximadamente la suma de \(w_i e^{x_i^2} g(x_i)\).
