¿Qué es la calculadora de cuadratura de Gauss-Legendre?
Esta herramienta calcula los nodos (abscisas) y los pesos de la regla de cuadratura de Gauss-Legendre de n puntos sobre el intervalo de referencia [-1, 1]. La cuadratura de Gauss-Legendre es un método de integración numérica que aproxima una integral definida mediante una suma ponderada de valores de la función: la integral de \(f(x)\) entre -1 y 1 es aproximadamente la suma sobre \(i\) de \(w_i\) por \(f(x_i)\). Con solo \(n\) puntos integra de forma exacta cualquier polinomio de grado hasta \(2n-1\), lo que la hace mucho más precisa que las reglas de puntos equiespaciados como el método del trapecio o el de Simpson.
Cómo utilizarla
Elige el orden \(n\) (el número de puntos, de 2 a 100) y, si lo deseas, el número de cifras significativas que quieres mostrar. La calculadora devuelve una tabla con \(n\) filas, cada una con un nodo \(x_i\) y su peso \(w_i\). Los nodos son simétricos respecto a 0 y todos quedan estrictamente dentro de (-1, 1); los pesos son positivos y suman exactamente 2, que es la longitud del intervalo. Para integrar sobre un intervalo cualquiera [a, b], transforma cada nodo con \(t_i = \frac{b-a}{2} \cdot x_i + \frac{a+b}{2}\) y multiplica cada peso por \(\frac{b-a}{2}\).
La fórmula explicada
Los nodos son las \(n\) raíces del polinomio de Legendre \(P_n(x)\), construido con la recurrencia de Bonnet: \(P_0=1\), \(P_1=x\) y $$P_k = \frac{(2k-1)\, x\, P_{k-1} - (k-1)\, P_{k-2}}{k}.$$ Cada peso es $$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}},$$ donde la derivada es $$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\left(x\, P_n(x) - P_{n-1}(x)\right)}{x^2 - 1}.$$ Las raíces se obtienen con el método de Newton, partiendo de la estimación inicial \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\), que converge en unas pocas iteraciones.
![Función suave en [-1,1] muestreada en varios nodos simétricos no uniformes con contribuciones ponderadas](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-1-6a54317456/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Ejemplo resuelto (n = 3)
Las raíces de \(P_3\) son \(x = 0\) y \(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\). El peso en \(x = 0\) es \(\frac{8}{9} = 0.888888889\), y el peso en cada \(x = \pm 0.7745966692\) es \(\frac{5}{9} = 0.555555556\). Los pesos suman $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2,$$ y esta regla de 3 puntos integra de forma exacta polinomios de grado hasta 5.
![Tres nodos simétricos de Gauss-Legendre en [-1,1] con el nodo central de mayor peso](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-a8fd6492e0/gauss-legendre-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
Preguntas frecuentes
¿Por qué los pesos suman 2? Integrar la función constante \(f(x) = 1\) sobre [-1, 1] da 2, y la cuadratura debe reproducir las constantes de manera exacta, por lo que los pesos tienen que sumar la longitud del intervalo.
¿Qué precisión tienen los valores? Se trata de un cálculo en doble precisión que ofrece unas 15 cifras significativas. Si pides mostrar más cifras, estas se redondean a lo que la doble precisión puede representar.
¿Cuál es el grado máximo que se integra de forma exacta? Una regla de \(n\) puntos es exacta para todos los polinomios de grado hasta \(2n-1\).
