حاسبة عُقد وأوزان تربيع غاوس-لوجاندر

أدخل الحساب

الرتبة n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

عدد الأرقام المعروضة 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

نتائج

20-Point Gauss-Legendre Rule on [-1, 1]

٢

مجموع الأوزان (يجب أن يساوي 2)

i	العقدة x_i	الوزن w_i
1	؜-٠٫٩٩٣١٢٨٥٩٩١٨٥٠٩٥	٠٫٠١٧٦١٤٠٠٧١٣٩١٥٢
2	؜-٠٫٩٦٣٩٧١٩٢٧٢٧٧٩١٤	٠٫٠٤٠٦٠١٤٢٩٨٠٠٣٨٧
3	؜-٠٫٩١٢٢٣٤٤٢٨٢٥١٣٢٦	٠٫٠٦٢٦٧٢٠٤٨٣٣٤١٠٩
4	؜-٠٫٨٣٩١١٦٩٧١٨٢٢٢١٩	٠٫٠٨٣٢٧٦٧٤١٥٧٦٧٠٥
5	؜-٠٫٧٤٦٣٣١٩٠٦٤٦٠١٥١	٠٫١٠١٩٣٠١١٩٨١٧٢٤
6	؜-٠٫٦٣٦٠٥٣٦٨٠٧٢٦٥١٥	٠٫١١٨١٩٤٥٣١٩٦١٥١٨
7	؜-٠٫٥١٠٨٦٧٠٠١٩٥٠٨٢٧	٠٫١٣١٦٨٨٦٣٨٤٤٩١٧٦
8	؜-٠٫٣٧٣٧٠٦٠٨٨٧١٥٤٢	٠٫١٤٢٠٩٦١٠٩٣١٨٣٨٢
9	؜-٠٫٢٢٧٧٨٥٨٥١١٤١٦٤٥	٠٫١٤٩١٧٢٩٨٦٤٧٢٦٠٤
10	؜-٠٫٠٧٦٥٢٦٥٢١١٣٣٤٩٧	٠٫١٥٢٧٥٣٣٨٧١٣٠٧٢٦
11	٠٫٠٧٦٥٢٦٥٢١١٣٣٤٩٧	٠٫١٥٢٧٥٣٣٨٧١٣٠٧٢٦
12	٠٫٢٢٧٧٨٥٨٥١١٤١٦٤٥	٠٫١٤٩١٧٢٩٨٦٤٧٢٦٠٤
13	٠٫٣٧٣٧٠٦٠٨٨٧١٥٤٢	٠٫١٤٢٠٩٦١٠٩٣١٨٣٨٢
14	٠٫٥١٠٨٦٧٠٠١٩٥٠٨٢٧	٠٫١٣١٦٨٨٦٣٨٤٤٩١٧٦
15	٠٫٦٣٦٠٥٣٦٨٠٧٢٦٥١٥	٠٫١١٨١٩٤٥٣١٩٦١٥١٨
16	٠٫٧٤٦٣٣١٩٠٦٤٦٠١٥١	٠٫١٠١٩٣٠١١٩٨١٧٢٤
17	٠٫٨٣٩١١٦٩٧١٨٢٢٢١٩	٠٫٠٨٣٢٧٦٧٤١٥٧٦٧٠٥
18	٠٫٩١٢٢٣٤٤٢٨٢٥١٣٢٦	٠٫٠٦٢٦٧٢٠٤٨٣٣٤١٠٩
19	٠٫٩٦٣٩٧١٩٢٧٢٧٧٩١٤	٠٫٠٤٠٦٠١٤٢٩٨٠٠٣٨٧
20	٠٫٩٩٣١٢٨٥٩٩١٨٥٠٩٥	٠٫٠١٧٦١٤٠٠٧١٣٩١٥٢

ما هي حاسبة تربيع غاوس-لوجاندر؟

تحسب هذه الأداة العُقد (الإحداثيات) والأوزان لقاعدة تربيع غاوس-لوجاندر بعدد n نقطة على المجال المرجعي [-1, 1]. وتربيع غاوس-لوجاندر هو طريقة تكامل عددي تقرّب التكامل المحدد على شكل مجموع موزون لقيم الدالة: فتكامل الدالة \(f(x)\) من -1 إلى 1 يساوي تقريبًا مجموع حدود \(w_i\) مضروبة في \(f(x_i)\) لكل \(i\). وبعدد n من النقاط فقط، تحسب هذه القاعدة تكامل أي كثير حدود حتى الدرجة \(2n-1\) بدقة تامة، ما يجعلها أدق بكثير من القواعد ذات الفواصل المتساوية مثل قاعدتي شبه المنحرف وسيمبسون.

طريقة الاستخدام

اختر الرتبة \(n\) (وهي عدد النقاط، من 2 إلى 100)، ويمكنك اختياريًا تحديد عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها. تعيد الحاسبة جدولًا من n صف، يحتوي كل صف على عقدة \(x_i\) ووزنها \(w_i\). والعُقد متماثلة حول الصفر وتقع جميعها تمامًا داخل المجال \((-1, 1)\)، أما الأوزان فكلها موجبة ومجموعها يساوي 2 بالضبط، وهو طول المجال. وللتكامل على مجال اختياري [a, b]، حوِّل كل عقدة بالعلاقة \(t_i = \frac{b-a}{2} \times x_i + \frac{a+b}{2}\)، واضرب كل وزن في \(\frac{b-a}{2}\).

شرح الصيغة

العُقد هي جذور كثير حدود لوجاندر \(P_n(x)\) البالغ عددها n، ويُبنى هذا الكثير حدود باستخدام علاقة بونيه التكرارية: \(P_0=1\)، و\(P_1=x\)، و\(P_k = \frac{(2k-1)\,x\,P_{k-1} - (k-1)\,P_{k-2}}{k}\). ويُحسب كل وزن بالعلاقة $$w_i = \frac{2}{\left(1 - x_i^{2}\right)\left[P_n^{\prime}(x_i)\right]^{2}}$$ حيث المشتقة هي $$P_n^{\prime}(x) = \frac{n\,(x\,P_n(x) - P_{n-1}(x))}{x^{2} - 1}$$ وتُستخرج الجذور بطريقة نيوتن انطلاقًا من القيمة الابتدائية \(x = \cos\!\left(\frac{\pi (i - 0.25)}{n + 0.5}\right)\)، وهي تتقارب خلال تكرارات قليلة.

تقرّب تربيعية غاوس-ليجاندر التكامل كمجموع موزون لقيم الدالة عند عقد مختارة خصيصًا.

مثال محلول (n = 3)

جذور \(P_3\) هي \(x = 0\) و\(x = \pm\sqrt{3/5} = \pm 0.7745966692\). والوزن عند \(x = 0\) هو \(\frac{8}{9} = 0.888888889\)، والوزن عند كل من \(x = \pm 0.7745966692\) هو \(\frac{5}{9} = 0.555555556\). ومجموع الأوزان هو $$\frac{5}{9} + \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = 2$$ وهذه القاعدة ذات النقاط الثلاث تحسب تكامل كثيرات الحدود حتى الدرجة 5 بدقة تامة.

تستخدم قاعدة النقاط الثلاث عقدة مركزية وعقدتين خارجيتين متناظرتين، مع إعطاء العقدة المركزية أكبر وزن.

الأسئلة الشائعة

لماذا يساوي مجموع الأوزان 2؟ لأن تكامل الدالة الثابتة \(f(x) = 1\) على المجال [-1, 1] يساوي 2، ويجب على قاعدة التربيع أن تعيد إنتاج الثوابت بدقة تامة، ومن ثمّ يجب أن يساوي مجموع الأوزان طول المجال.

ما مدى دقة القيم؟ هذه إعادة حساب بدقة مضاعفة (double precision) تعطي نحو 15 رقمًا معنويًا. أما خيارات العرض التي تطلب عددًا أكبر من الأرقام فتُقرَّب إلى ما يمكن للدقة المضاعفة تمثيله.

ما أقصى درجة يُحسب تكاملها بدقة تامة؟ القاعدة ذات n نقطة دقيقة تمامًا لجميع كثيرات الحدود حتى الدرجة \(2n-1\).