أدخل الحساب

نتائج

Gauss-Hermite Quadrature (20-point)

n = 20

العُقد والأوزان لدالة الوزن الفيزيائية e^(-x^2)

i	العقدة x_i	الوزن w_i
1	-5.38748089001123	2.22939364553414e-13
2	-4.60368244955075	4.39934099227314e-10
3	-3.94476404011563	1.08606937076927e-07
4	-3.34785456738322	7.80255647853208e-06
5	-2.78880605842813	0.000228338636016353
6	-2.25497400208928	0.00324377334223785
7	-1.73853771211659	0.0248105208874637
8	-1.23407621539532	0.109017206020023
9	-0.737473728545394	0.286675505362834
10	-0.245340708300901	0.462243669600610
11	0.245340708300901	0.462243669600610
12	0.737473728545395	0.286675505362835
13	1.23407621539532	0.109017206020023
14	1.73853771211659	0.0248105208874636
15	2.25497400208928	0.00324377334223785
16	2.78880605842813	0.000228338636016355
17	3.34785456738322	7.80255647853212e-06
18	3.94476404011563	1.08606937076928e-07
19	4.60368244955074	4.39934099227318e-10
20	5.38748089001123	2.22939364553414e-13

Self-check: sum of all weights = ١٫٧٧٢٤٥٣٨٥٠٩٠٥٥١٦٣, which should equal sqrt(pi) = ١٫٧٧٢٤٥٣٨٥٠٩٠٥٥١٥٩.

ما هو تربيع غاوس-هيرميت؟

تربيع غاوس-هيرميت هو أسلوب عددي لتقريب التكاملات الممتدة على خط الأعداد الحقيقية بأكمله والتي تحمل دالة الوزن الغاوسية $e^{-x^2}$. تقرّب القاعدة المكوّنة من $n$ نقطة قيمة التكامل بوصفها مجموعًا موزونًا لقيم الدالة المُكامَلة عند $n$ نقطة مختارة بعناية: فالتكامل من سالب اللانهاية إلى موجب اللانهاية للمقدار $e^{-x^2} f(x)\,dx$ يساوي تقريبًا مجموع الحدود $w_i f(x_i)$ على جميع قيم $i$.

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$

والعُقد $x_i$ هي جذور كثير حدود هيرميت بالصيغة الفيزيائية $H_n$، أما الأوزان $w_i$ فتُحدَّد بالاعتماد على خاصية التعامد لتلك الكثيرات.

منحنى وزن على شكل جرس مع نقاط عيّنات وأعمدة رأسية عند العُقد — تقرّب تربيعة غاوس-هيرميت تكاملاً موزوناً بـ $e^{-x^2}$ باستخدام عدد قليل من العُقد الموضوعة بذكاء.

كيفية استخدام الحاسبة

اختر الرتبة $n$ (أي عدد النقاط، من 2 إلى 100) وعدد الخانات المعروضة، ثم اقرأ جدول العُقد والأوزان مباشرة. ولأن عملية الحساب تعتمد على الدقة المزدوجة القياسية، فإن الدقة المعروضة محدودة بنحو 15 رقمًا معنويًا — وما يتجاوز ذلك يتطلب حسابًا بدقة عشوائية حتى تصبح الأرقام الإضافية ذات معنى. القاعدة المكوّنة من $n$ نقطة تُكامِل بدقة تامة كل كثير حدود من درجة لا تتجاوز $2n-1$.

شرح الصيغة

العُقد هي الأصفار الحقيقية الـ $n$ لكثير الحدود $H_n(x)$، المُعرَّف بعلاقة التكرار $H_0=1$، $H_1=2x$، $H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}$. أما الأوزان فهي

$$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\, \big[H_{n-1}(x_i)\big]^2}$$

تعتمد هذه الحاسبة على طريقة غولوب-ويلش المستقرة: إذ تبني مصفوفة ياكوبي الثلاثية القطرية المتماثلة (قطر أصفار، وعناصر خارج القطر بقيمة $\sqrt{k/2}$)، ثم تجد قيمها الذاتية (وهي العُقد) ومتجهاتها الذاتية، وتضبط كل وزن ليساوي $\sqrt{\pi}$ مضروبًا في مربع المركبة الأولى من المتجه الذاتي المُسوَّى المقابل. وبهذا تتفادى الطريقة الطفحان الناتج عن المضاريب الكبيرة.

مثال محلول (n = 2)

كثير الحدود $H_2(x) = 4x^2 - 2$ له الجذران $x = \pm\tfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475$. وكل وزن يساوي

$$w_i = \frac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot \big[H_1(x_i)\big]^2}$$

وبما أن $H_1(x)=2x$ فإن $[H_1]^2 = 2$، ومن ثَمّ يكون كل وزن

$$w_i = \frac{2 \cdot 2 \cdot 1.7724538509055160}{4 \cdot 2} = 0.8862269254527580$$

ومجموعهما يساوي $\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160$، وهو تحقّق ذاتي مفيد.

عقدتان متماثلتان على محور مع أعمدة وزن متساوية الارتفاع تحت منحنى جرسي — عند $n = 2$ تقع العقدتان بشكل متماثل عند $\pm\sqrt{1/2}$ بأوزان متساوية.

الأسئلة الشائعة

لماذا يساوي مجموع الأوزان دائمًا $\sqrt{\pi}$؟ عند وضع $f(x)=1$ نحصل على تكامل $e^{-x^2}$ على خط الأعداد الحقيقية، وهو يساوي $\sqrt{\pi}$؛ والتربيع يعيد إنتاج هذه القيمة بدقة تامة.

أي صيغة من صيغ هيرميت هذه؟ إنها الصيغة الفيزيائية ذات دالة الوزن $e^{-x^2}$. أما الصيغة الاحتمالية ذات الوزن $e^{-x^2/2}$ فتختلف فيها العُقد والأوزان بمعامل تحجيم.

هل يمكنني تكامل دالة لا تتضمّن العامل $e^{-x^2}$؟ نعم — اكتب $g(x) = e^{x^2} f(x)$، فيكون تكامل $g$ مساويًا تقريبًا لمجموع الحدود $w_i\, e^{x_i^2}\, g(x_i)$.

الآلات الحاسبة ذات الصلة