Что такое квадратура Гаусса–Эрмита?
Квадратура Гаусса–Эрмита — это численный метод приближённого вычисления интегралов по всей числовой прямой с гауссовым весом \(e^{-x^2}\). n-точечная формула приближает интеграл взвешенной суммой значений подынтегральной функции в n специально подобранных точках:
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$Узлы \(x_i\) — это корни многочлена Эрмита \(H_n\) в «физической» нормировке, а веса \(w_i\) определяются условием ортогональности этих многочленов.
Как пользоваться калькулятором
Выберите порядок \(n\) (число точек, от 2 до 100) и количество отображаемых знаков — после этого вы увидите таблицу узлов и весов. Поскольку расчёт ведётся в стандартной двойной точности, отображаемая точность ограничена примерно 15 значащими цифрами: чтобы дополнительные знаки имели смысл, потребовалась бы арифметика произвольной точности. n-точечная формула точно интегрирует любой многочлен степени до \(2n-1\) включительно.
Разбор формулы
Узлы — это \(n\) действительных нулей многочлена \(H_n(x)\), который задаётся рекуррентным соотношением \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\). Веса вычисляются по формуле $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\,[H_{n-1}(x_i)]^2}.$$ Этот калькулятор использует устойчивый метод Голуба–Уэлша: строится симметричная трёхдиагональная матрица Якоби (нулевая диагональ, побочные элементы \(\sqrt{k/2}\)), находятся её собственные значения (это и есть узлы) и собственные векторы, а каждый вес полагается равным \(\sqrt{\pi}\), умноженному на квадрат первой компоненты соответствующего нормированного собственного вектора. Такой подход исключает переполнение при работе с большими факториалами.
Пример расчёта (n = 2)
Многочлен \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) имеет корни \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475\). Каждый вес равен \(\frac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\). Так как \(H_1(x)=2x\), имеем \([H_1]^2 = 2\), поэтому каждый вес $$= \frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580.$$ Их сумма равна \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\) — удобная проверка результата.
Частые вопросы
Почему сумма весов всегда равна \(\sqrt{\pi}\)? Если подставить \(f(x)=1\), получится интеграл от \(e^{-x^2}\) по всей прямой, который равен \(\sqrt{\pi}\); квадратура воспроизводит его точно.
Какая нормировка многочленов Эрмита здесь используется? «Физическая» — с весом \(e^{-x^2}\). Для «вероятностной» нормировки с весом \(e^{-x^2/2}\) узлы и веса отличаются масштабным множителем.
Можно ли интегрировать функцию без множителя \(e^{-x^2}\)? Да — запишите \(g(x) = e^{x^2}\,f(x)\), тогда интеграл от \(g\) приближённо равен сумме \(w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)\).
