Что такое квадратура Гаусса — Эрмита?
Квадратура Гаусса — Эрмита — это метод численного интегрирования по всей вещественной оси, от минус бесконечности до плюс бесконечности. В его основе лежит гауссова весовая функция \(e^{-x^{2}}\), а сама формула точна для любого многочлена степени не выше \(2n-1\) (если вынести вес за скобки). Поскольку речь идёт о чистой математике, правило одинаково работает в любой стране и при любой системе единиц. Метод широко применяется в физике, статистике (математические ожидания при нормальном распределении) и инженерных расчётах.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите форму подынтегрального выражения. Вариант g(x) подойдёт, если вы вводите полную функцию, которую нужно проинтегрировать по \((-\infty, +\infty)\); вариант f(x) — если вес \(e^{-x^{2}}\) вы уже вынесли отдельно. Введите выражение через переменную x (доступны exp, log, sqrt, sin, cos, tan, sinh, cosh, abs, pi, e, ^, а также обычные операторы). Наконец, укажите число узлов \(n\). Чем больше узлов, тем выше точность для гладких функций, близких к гауссовым; на практике обычно берут от 8 до 30.
Разбираем формулу
Метод вычисляет значение подынтегральной функции в \(n\) корнях \(x_i\) полинома Эрмита \(H_n(x)\) (в «физической» нормировке) и комбинирует их с весами $$w_i = \frac{2^{n-1}\cdot n!\cdot \sqrt{\pi}}{n^{2}\cdot [H_{n-1}(x_i)]^{2}}.$$ В режиме f оценка интеграла равна сумме $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i).$$ В режиме g вес «возвращается» обратно через модифицированный коэффициент \(W_i = w_i\cdot e^{x_i^{2}}\), и сумма принимает вид $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i).$$ Узлы и веса здесь вычисляются по численно устойчивому алгоритму Голуба — Уэлша, который находит их как собственные значения и собственные векторы симметричной трёхдиагональной матрицы Якоби.
Разбор примера
Возьмём режим f при \(f(x) = 1\) и \(n = 2\). Два узла равны \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\) с одинаковыми весами \(w = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0{,}8862269255\). Их сумма: $$0{,}8862269255 + 0{,}8862269255 = 1{,}7724538509$$ — это в точности \(\sqrt{\pi}\), истинное значение интеграла от \(e^{-x^{2}}\) по всей числовой оси. Тот же результат получится и в режиме g при \(g(x) = \exp(-x^{2})\) и \(n = 2\): модифицированные веса дают ровно \(1{,}7724538509\).
Частые вопросы
Когда метод сходится медленно? Когда подынтегральную функцию плохо приближает произведение \(e^{-x^{2}}\) на многочлен — например, при медленном степенном убывании, «тяжёлых хвостах» или особенностях на вещественной оси. В таких случаях увеличьте \(n\) или используйте другой метод.
Зачем нужен множитель \(e^{x_i^{2}}\) в режиме g? Он компенсирует встроенный гауссов вес, чтобы вы могли задать функцию целиком. Для крайних узлов этот множитель становится большим, поэтому для хорошей точности \(g(x)\) должна убывать не медленнее, чем \(e^{-x^{2}}\).
Точна ли формула для многочленов? Да: в режиме f она интегрирует любой многочлен степени до \(2n-1\) абсолютно точно.
