Что делает этот калькулятор
Этот инструмент численно вычисляет определённый интеграл функции \(g(x)\) на конечном интервале \((a, b)\) с помощью квадратуры Гаусса–Чебышёва второго рода. Квадратуры Гаусса вычисляют подынтегральную функцию в небольшом наборе специально подобранных точек (узлов) и складывают результаты с соответствующими весами. Благодаря этому метод даёт высокую точность для гладких функций при минимуме вычислений. Это чистая математика, поэтому здесь нет ни единиц измерения, ни привязки к правилам какой-либо страны.
Как пользоваться
Введите подынтегральное выражение через переменную x (например, sqrt(1-x^2), exp(x), 1/(1+x^2) или sin(x)). Поддерживаются функции sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln/log, sqrt, abs, возведение в степень через ^, а также константы pi и e. Затем задайте нижний предел \(a\), верхний предел \(b\) и число узлов \(n\). Как правило, чем больше \(n\), тем выше точность для гладких функций; для невзвешенных функций хорошо подходят значения 30–60.
Разбор формулы
Правило второго рода строится на каноническом тождестве на отрезке \([-1, 1]\) с весом \(\sqrt{1 - x^2}\). Его узлы задаются в явном виде: \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\), а веса — \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). Чтобы проинтегрировать невзвешенную функцию \(g\) на произвольном интервале, мы отображаем \([-1, 1]\) на \([a, b]\) (якобиан \(\frac{b-a}{2}\)) и делим на \(\sqrt{1 - x_i^2}\). Это деление сокращается аналитически, и остаётся эффективный вес \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). Итоговая рабочая формула:
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n+1}\sum_{i=1}^{n} \sin^{2}\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) f(x_i)$$где
$$\left\{ \begin{aligned} x_i &= \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ f(x) &= \frac{g(x)}{\sqrt{1-t_i^{2}}},\quad t_i=\cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right) \\ n &= \text{Nodes} \end{aligned} \right.$$
Пример с решением
Возьмём \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) на интервале \((-1, 1)\) при \(n = 4\). Точное значение — это площадь верхней половины единичного круга, \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5707963\). Сумма четырёх вкладов даёт примерно \(1{,}5708358\) — совпадение с истинным значением до четвёртого знака после запятой всего при четырёх узлах.
Частые вопросы
Что будет, если \(a = b\)? Ширина интервала равна нулю, поэтому результат — ровно 0.
А если \(b\) меньше \(a\)? Правило по-прежнему работает и возвращает значение со знаком: интеграл от \(a\) до \(b\) равен интегралу от \(b\) до \(a\), взятому с обратным знаком.
Почему появляется сообщение «не определено в узле»? Если \(g\) даёт NaN или бесконечность в каком-либо узле квадратуры (например, при взятии ln от отрицательного числа или делении на ноль), результат вычислить нельзя — измените функцию или интервал.
