Что такое многочлен Чебышёва второго рода?
Многочлены Чебышёва второго рода, которые обозначают \(U_n(x)\), — это семейство ортогональных многочленов, без которых не обходятся теория приближений, численные методы и физика. Перед вами инструмент чистой математики: он работает одинаково в любой точке мира и не привязан ни к какой стране или правовой системе. Калькулятор формирует таблицу значений \(U_n(x)\) на выбранном диапазоне x и позволяет наглядно построить полученную кривую.
Как пользоваться калькулятором
Задайте порядок n (целое неотрицательное число), начальное значение x, шаг (расстояние между соседними значениями x) и число точек (сколько отсчётов сгенерировать). Таблица строится для \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\times\text{stepX}\) и так далее. При настройках по умолчанию (n = 3, начало = -1, шаг = 0,02, 101 точка) x пробегает значения от -1 до 1,00.
Разбираем формулу
Вместо тригонометрической формы $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ (которая даёт деление на ноль при \(x = \pm 1\)) калькулятор использует устойчивую трёхчленную рекуррентную формулу: \(U_0(x) = 1\), \(U_1(x) = 2x\) и $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x).$$ Рекуррентное соотношение точно при любом вещественном x и позволяет значениям естественно расти при \(|x| > 1\). Эти многочлены удовлетворяют дифференциальному уравнению $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0.$$
Пример с подробным решением
При n = 3 многочлен в явном виде равен \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\). Возьмём \(x = 0{,}5\): \(U_0 = 1\), \(U_1 = 1\), \(U_2 = 2(0{,}5)(1) - 1 = 0\), \(U_3 = 2(0{,}5)(0) - 1 = -1\). Явная формула даёт $$8(0{,}125) - 4(0{,}5) = 1 - 2 = -1.$$ На концах отрезка \(U_n(1) = n+1\), поэтому \(U_3(1) = 4\), а \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\), поэтому \(U_3(-1) = -4\).
Частые вопросы
Как выглядят первые многочлены? \(U_0 = 1\), \(U_1 = 2x\), \(U_2 = 4x^2 - 1\), \(U_3 = 8x^3 - 4x\), \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\).
Может ли x выходить за пределы [-1, 1]? Да. Многочлен определён для всех вещественных x; рекуррентная формула корректно обрабатывает значения \(|x| > 1\), хотя результаты при этом растут очень быстро.
Что будет, если n не целое? Порядок округляется вниз до целого неотрицательного числа; отрицательные значения приводятся к 0.
