द्वितीय प्रकार के चेबिशेव बहुपद U_n(x) की तालिका और ग्राफ

गणना दर्ज करें

n (क्रम)

x का प्रारंभिक मान

वृद्धि

दोहराव संख्या

परिणाम

U₃(x) at x = -1

-4

द्वितीय प्रकार का चेबिशेव बहुपद

क्रम n	3
प्रारंभिक x	-1
वृद्धि	0.02
नमूना बिंदु	101

x	U3(x)
-1	-4
-0.98	-3.609536
-0.96	-3.237888
-0.94	-2.884672
-0.92	-2.549504
-0.9	-2.232
-0.88	-1.931776
-0.86	-1.648448
-0.84	-1.381632
-0.82	-1.130944
-0.8	-0.896
-0.78	-0.676416
-0.76	-0.471808
-0.74	-0.281792
-0.72	-0.105984
-0.7	0.056
-0.68	0.204544
-0.66	0.340032
-0.64	0.462848
-0.62	0.573376
-0.6	0.672
-0.58	0.759104
-0.56	0.835072
-0.54	0.900288
-0.52	0.955136
-0.5	1
-0.48	1.035264
-0.46	1.061312
-0.44	1.078528
-0.42	1.087296
-0.4	1.088
-0.38	1.081024
-0.36	1.066752
-0.34	1.045568
-0.32	1.017856
-0.3	0.984
-0.28	0.944384
-0.26	0.899392
-0.24	0.849408
-0.22	0.794816
-0.2	0.736
-0.18	0.673344
-0.16	0.607232
-0.14	0.538048
-0.12	0.466176
-0.1	0.392
-0.08	0.315904
-0.06	0.238272
-0.04	0.159488
-0.02	0.079936
0	-0
0.02	-0.079936
0.04	-0.159488
0.06	-0.238272
0.08	-0.315904
0.1	-0.392
0.12	-0.466176
0.14	-0.538048
0.16	-0.607232
0.18	-0.673344
0.2	-0.736
0.22	-0.794816
0.24	-0.849408
0.26	-0.899392
0.28	-0.944384
0.3	-0.984
0.32	-1.017856
0.34	-1.045568
0.36	-1.066752
0.38	-1.081024
0.4	-1.088
0.42	-1.087296
0.44	-1.078528
0.46	-1.061312
0.48	-1.035264
0.5	-1
0.52	-0.955136
0.54	-0.900288
0.56	-0.835072
0.58	-0.759104
0.6	-0.672
0.62	-0.573376
0.64	-0.462848
0.66	-0.340032
0.68	-0.204544
0.7	-0.056
0.72	0.105984
0.74	0.281792
0.76	0.471808
0.78	0.676416
0.8	0.896
0.82	1.130944
0.84	1.381632
0.86	1.648448
0.88	1.931776
0.9	2.232
0.92	2.549504
0.94	2.884672
0.96	3.237888
0.98	3.609536
1	4

द्वितीय प्रकार का चेबिशेव बहुपद क्या है?

द्वितीय प्रकार के चेबिशेव बहुपद, जिन्हें \(U_n(x)\) लिखा जाता है, लांबिक (ऑर्थोगोनल) बहुपदों का एक परिवार हैं जो सन्निकटन सिद्धांत, संख्यात्मक विश्लेषण और भौतिकी में बार-बार दिखाई देते हैं। यह एक शुद्ध-गणित उपकरण है: यह हर जगह एक समान काम करता है और किसी देश या क्षेत्राधिकार से बँधा नहीं है। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए \(x\) परास पर \(U_n(x)\) के मानों की एक तालिका बनाता है और परिणामी वक्र को देखने की सुविधा देता है।

अंतराल [-1, 1] पर U_0 से U_4 तक के ग्राफ।

इसका उपयोग कैसे करें

क्रम n (एक अऋणात्मक पूर्णांक), x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (लगातार \(x\) मानों के बीच का अंतराल) और दोहराव संख्या (कितने नमूना बिंदु बनाने हैं) दर्ज करें। तालिका \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\times\text{stepX}\), और इसी तरह आगे के लिए बनती है। पूर्वनिर्धारित मानों के साथ (\(n = 3\), प्रारंभ = -1, चरण = 0.02, 101 बिंदु), \(x\) का मान -1 से 1.00 तक चलता है।

सूत्र की व्याख्या

त्रिकोणमितीय रूप $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ (जो \(x = \pm 1\) पर शून्य से भाग दे देता है) के बजाय, यह उपकरण स्थिर त्रि-पद पुनरावृत्ति का उपयोग करता है: \(U_0(x) = 1\), \(U_1(x) = 2x\), और $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x)$$ यह पुनरावृत्ति हर वास्तविक \(x\) के लिए सटीक है और \(|x| > 1\) के लिए मानों को स्वाभाविक रूप से बढ़ने देती है। ये बहुपद अवकल समीकरण $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0$$ को संतुष्ट करते हैं।

स्थिर तीन-पद पुनरावृत्ति पिछले दो पदों से U_k बनाती है।

हल किया हुआ उदाहरण

\(n = 3\) के लिए, बंद रूप है \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\)। \(x = 0.5\) पर: \(U_0 = 1\), \(U_1 = 1\), \(U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0\), \(U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1\)। बंद रूप देता है \(8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1\)। अंतिम बिंदुओं पर, \(U_n(1) = n+1\) इसलिए \(U_3(1) = 4\), और \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\) इसलिए \(U_3(-1) = -4\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

शुरुआती कुछ बहुपद कौन-से हैं? \(U_0 = 1\), \(U_1 = 2x\), \(U_2 = 4x^2 - 1\), \(U_3 = 8x^3 - 4x\), \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\)।

क्या \(x\) का मान [-1, 1] के बाहर हो सकता है? हाँ। यह बहुपद सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है; पुनरावृत्ति \(|x| > 1\) को साफ़-सु␤थरे ढंग से संभालती है, हालाँकि मान तेज़ी से बढ़ते हैं।

अगर n पूर्ण संख्या न हो तो क्या होगा? क्रम को अऋणात्मक पूर्णांक तक नीचे की ओर पूर्णांकित कर दिया जाता है; ऋणात्मक मानों को 0 तक सीमित कर दिया जाता है।