द्वितीय प्रकार का चेबिशेव बहुपद क्या है?
द्वितीय प्रकार के चेबिशेव बहुपद, जिन्हें \(U_n(x)\) लिखा जाता है, लांबिक (ऑर्थोगोनल) बहुपदों का एक परिवार हैं जो सन्निकटन सिद्धांत, संख्यात्मक विश्लेषण और भौतिकी में बार-बार दिखाई देते हैं। यह एक शुद्ध-गणित उपकरण है: यह हर जगह एक समान काम करता है और किसी देश या क्षेत्राधिकार से बँधा नहीं है। यह कैलकुलेटर आपके चुने हुए \(x\) परास पर \(U_n(x)\) के मानों की एक तालिका बनाता है और परिणामी वक्र को देखने की सुविधा देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
क्रम n (एक अऋणात्मक पूर्णांक), x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (लगातार \(x\) मानों के बीच का अंतराल) और दोहराव संख्या (कितने नमूना बिंदु बनाने हैं) दर्ज करें। तालिका \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\times\text{stepX}\), और इसी तरह आगे के लिए बनती है। पूर्वनिर्धारित मानों के साथ (\(n = 3\), प्रारंभ = -1, चरण = 0.02, 101 बिंदु), \(x\) का मान -1 से 1.00 तक चलता है।
सूत्र की व्याख्या
त्रिकोणमितीय रूप $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ (जो \(x = \pm 1\) पर शून्य से भाग दे देता है) के बजाय, यह उपकरण स्थिर त्रि-पद पुनरावृत्ति का उपयोग करता है: \(U_0(x) = 1\), \(U_1(x) = 2x\), और $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x)$$ यह पुनरावृत्ति हर वास्तविक \(x\) के लिए सटीक है और \(|x| > 1\) के लिए मानों को स्वाभाविक रूप से बढ़ने देती है। ये बहुपद अवकल समीकरण $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0$$ को संतुष्ट करते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
\(n = 3\) के लिए, बंद रूप है \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\)। \(x = 0.5\) पर: \(U_0 = 1\), \(U_1 = 1\), \(U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0\), \(U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1\)। बंद रूप देता है \(8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1\)। अंतिम बिंदुओं पर, \(U_n(1) = n+1\) इसलिए \(U_3(1) = 4\), और \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\) इसलिए \(U_3(-1) = -4\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
शुरुआती कुछ बहुपद कौन-से हैं? \(U_0 = 1\), \(U_1 = 2x\), \(U_2 = 4x^2 - 1\), \(U_3 = 8x^3 - 4x\), \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\)।
क्या \(x\) का मान [-1, 1] के बाहर हो सकता है? हाँ। यह बहुपद सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है; पुनरावृत्ति \(|x| > 1\) को साफ़-सुथरे ढंग से संभालती है, हालाँकि मान तेज़ी से बढ़ते हैं।
अगर n पूर्ण संख्या न हो तो क्या होगा? क्रम को अऋणात्मक पूर्णांक तक नीचे की ओर पूर्णांकित कर दिया जाता है; ऋणात्मक मानों को 0 तक सीमित कर दिया जाता है।
