Qu'est-ce que le polynôme de Tchebychev de seconde espèce ?
Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce, notés \(U_n(x)\), forment une famille de polynômes orthogonaux que l'on retrouve partout en théorie de l'approximation, en analyse numérique et en physique. Il s'agit ici d'un outil purement mathématique : il fonctionne de façon identique partout dans le monde et n'est lié à aucun pays ni à aucune réglementation. Ce calculateur dresse un tableau des valeurs de \(U_n(x)\) sur un intervalle de \(x\) choisi et vous permet de visualiser la courbe obtenue.
Comment l'utiliser
Saisissez l'ordre n (un entier positif ou nul), la valeur initiale de x, le pas (l'écart entre deux valeurs successives de x) et le nombre de points (la quantité d'échantillons à générer). Le tableau est calculé pour x = xdébut, xdébut + pas, xdébut + 2×pas, et ainsi de suite. Avec les valeurs par défaut (n = 3, début = -1, pas = 0,02, 101 points), x varie de -1 à 1,00.
La formule expliquée
Plutôt que la forme trigonométrique $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ (qui divise par zéro en \(x = \pm 1\)), cet outil s'appuie sur la récurrence stable à trois termes : $$U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2x, \quad U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x).$$ Cette récurrence est exacte pour tout réel \(x\) et laisse les valeurs croître naturellement lorsque \(|x| > 1\). Ces polynômes vérifient l'équation différentielle $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0.$$
Exemple résolu
Pour n = 3, la forme développée est \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\). En \(x = 0{,}5\) : \(U_0 = 1\), \(U_1 = 1\), \(U_2 = 2(0{,}5)(1) - 1 = 0\), \(U_3 = 2(0{,}5)(0) - 1 = -1\). La forme développée donne $$8(0{,}125) - 4(0{,}5) = 1 - 2 = -1.$$ Aux bornes, \(U_n(1) = n+1\), donc \(U_3(1) = 4\), et \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\), donc \(U_3(-1) = -4\).
Questions fréquentes
Quels sont les premiers polynômes ? \(U_0 = 1\), \(U_1 = 2x\), \(U_2 = 4x^2 - 1\), \(U_3 = 8x^3 - 4x\), \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\).
x peut-il sortir de l'intervalle [-1, 1] ? Oui. Le polynôme est défini pour tout réel \(x\) ; la récurrence gère sans problème le cas \(|x| > 1\), même si les valeurs augmentent alors très vite.
Que se passe-t-il si n n'est pas entier ? L'ordre est arrondi à l'entier inférieur (partie entière) pour rester positif ou nul ; les valeurs négatives sont ramenées à 0.
