À quoi sert ce calculateur
Cet outil évalue le polynôme d'Hermite des physiciens \(H_n(x)\) pour un ordre \(n\) fixé, sur une suite de valeurs de \(x\). Il renvoie un tableau de couples \((x, H_n(x))\) et trace la courbe correspondante. Les polynômes d'Hermite sont omniprésents en mécanique quantique (états propres d'énergie de l'oscillateur harmonique), en théorie des probabilités et en analyse numérique (quadrature de Gauss-Hermite).
Comment l'utiliser
Saisissez l'ordre du polynôme n (un entier positif ou nul tel que 0, 1, 2, 3, …), la valeur initiale de x, le pas (l'écart entre deux valeurs de x successives) et le nombre de répétitions (le nombre de lignes à générer). La i-ème valeur de x vaut \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) pour \(i\) allant de 0 à \(\text{count} - 1\). Un pas négatif produit un tableau décroissant ; un pas nul répète la même valeur de x.
La formule
Il s'agit des polynômes d'Hermite des physiciens, qui vérifient l'équation différentielle \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\) et qui sont engendrés par \(\exp(2xt - t^2)\). On les calcule à l'aide de la relation de récurrence stable à trois termes :
$$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x)$$Cette méthode évite le dépassement de capacité lié aux factorielles. Attention : il ne s'agit pas des polynômes des probabilistes \(He_n(x)\), qui utilisent \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\).
Exemple détaillé
Pour \(n = 3\), la récurrence donne \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) et \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\). En \(x = -2{,}5\) :
$$8(-15{,}625) + 30 = -95$$En \(x = 0\), la valeur est 0, et en \(x = 2{,}5\), elle vaut +95. Avec \(\text{startX} = -2{,}5\), \(\text{stepX} = 0{,}1\) et 51 répétitions, le tableau s'étend de \((-2{,}5\,;\, -95)\) à \((2{,}5\,;\, 95)\) en passant par \((0\,;\, 0)\), dessinant une courbe cubique à symétrie impaire.
FAQ
Quelle convention est utilisée ? La convention des physiciens \(H_n\), où \(H_1(x) = 2x\). Les premiers polynômes : \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\).
Et si n = 0 ? \(H_0(x) = 1\) quel que soit \(x\) : le tableau et le graphique forment donc une droite horizontale à la hauteur 1.
Pourquoi les valeurs explosent-elles pour de grands n ? Les polynômes d'Hermite croissent extrêmement vite lorsque l'ordre et \(|x|\) sont élevés ; la double précision peut dépasser sa capacité au-delà d'environ 1e308. Gardez des valeurs modérées de \(n\) et de la plage de \(x\) pour obtenir des graphiques exploitables.
