에르미트 다항식 Hn(x) 표·그래프 계산기

계산 입력

n (다항식 차수)

x의 초깃값

증분

반복 횟수

결과

Hermite polynomial order n = 3

51 points

first H_n(x) = -95, last H_n(x) = 95

i	x	Hn(x)
0	-2.5	-95
1	-2.4	-81.792
2	-2.3	-69.736
3	-2.2	-58.784
4	-2.1	-48.888
5	-2	-40
6	-1.9	-32.072
7	-1.8	-25.056
8	-1.7	-18.904
9	-1.6	-13.568
10	-1.5	-9
11	-1.4	-5.152
12	-1.3	-1.976
13	-1.2	0.576
14	-1.1	2.552
15	-1	4
16	-0.9	4.968
17	-0.8	5.504
18	-0.7	5.656
19	-0.6	5.472
20	-0.5	5
21	-0.4	4.288
22	-0.3	3.384
23	-0.2	2.336
24	-0.1	1.192
25	0	-0
26	0.1	-1.192
27	0.2	-2.336
28	0.3	-3.384
29	0.4	-4.288
30	0.5	-5
31	0.6	-5.472
32	0.7	-5.656
33	0.8	-5.504
34	0.9	-4.968
35	1	-4
36	1.1	-2.552
37	1.2	-0.576
38	1.3	1.976
39	1.4	5.152
40	1.5	9
41	1.6	13.568
42	1.7	18.904
43	1.8	25.056
44	1.9	32.072
45	2	40
46	2.1	48.888
47	2.2	58.784
48	2.3	69.736
49	2.4	81.792
50	2.5	95

이 계산기의 기능

이 도구는 물리학자 정의의 에르미트 다항식(physicists' Hermite polynomial) \(H_n(x)\)를 하나의 고정된 차수 \(n\)에 대해 여러 \(x\) 값에서 계산합니다. \((x, H_n(x))\) 쌍으로 이루어진 표를 출력하고 그 곡선을 함께 그려 줍니다. 에르미트 다항식은 양자역학(조화 진동자의 에너지 고유상태), 확률론, 수치해석(가우스–에르미트 구적법) 등 다양한 분야에서 등장합니다.

사용 방법

다항식 차수 n(0, 1, 2, 3, … 과 같은 0 이상의 정수), x의 초깃값, 증분(연속된 x 값 사이의 간격), 그리고 반복 횟수(생성할 행의 개수)를 입력하세요. i번째 x 값은 i = 0부터 count−1까지에 대해 $$x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$$로 계산됩니다. 증분이 음수이면 내림차순 표가 만들어지고, 증분이 0이면 같은 x가 반복됩니다.

공식

여기서 다루는 것은 물리학자 정의의 에르미트 다항식으로, 미분방정식 \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\)을 만족하며 생성함수 \(\exp(2xt - t^2)\)로 정의됩니다. 계산에는 수치적으로 안정적인 3항 점화식을 사용합니다: $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x).$$ 이 방식은 팩토리얼 오버플로를 피할 수 있습니다. 참고로 이는 확률론자 정의의 \(He_n(x)\)와는 다릅니다. 확률론자 버전은 \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\) 점화식을 사용합니다.

삼항 점화식은 각 에르미트 다항식을 바로 앞 두 차수로부터 만들어냅니다.

계산 예시

\(n = 3\)일 때 점화식을 적용하면 \(H_2(x) = 4x^2 - 2\), \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\)가 됩니다. \(x = -2.5\)에서는 \(8(-15.625) + 30 = -95\)이고, \(x = 0\)에서는 \(0\), \(x = 2.5\)에서는 \(+95\)입니다. \(\text{startX} = -2.5\), \(\text{stepX} = 0.1\), 반복 횟수 51로 설정하면 표는 \((-2.5, -95)\)에서 \((0, 0)\)을 지나 \((2.5, 95)\)까지 이어지며, 기함수 대칭을 갖는 3차 곡선 모양을 그립니다.

자주 묻는 질문

어떤 정의를 사용하나요? \(H_1(x) = 2x\)인 물리학자 정의 \(H_n\)을 사용합니다. 처음 몇 개는 다음과 같습니다: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\).

n = 0이면 어떻게 되나요? 모든 \(x\)에 대해 \(H_0(x) = 1\)이므로, 표와 그래프는 높이 1에서 평평한 직선으로 나타납니다.

n이 커지면 값이 왜 폭발적으로 커지나요? 에르미트 다항식은 차수와 \(|x|\)가 커질수록 매우 빠르게 증가합니다. 배정밀도(double)는 약 \(1\mathrm{e}308\)을 넘으면 오버플로가 발생합니다. 의미 있는 그래프를 얻으려면 \(n\)과 \(x\) 범위를 적당한 수준으로 유지하세요.

대칭 x 범위에서 H1부터 H4까지의 곡선으로, 차수가 높아질수록 진동이 커지는 모습을 보여줍니다.