Hermite Polinomu Hn(x) Tablo ve Grafik Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

n (polinom derecesi)

x'in başlangıç değeri

Artış miktarı

Tekrar sayısı

Sonuç

Hermite polynomial order n = 3

51 points

first H_n(x) = -95, last H_n(x) = 95

i	x	Hn(x)
0	-2,5	-95
1	-2,4	-81,792
2	-2,3	-69,736
3	-2,2	-58,784
4	-2,1	-48,888
5	-2	-40
6	-1,9	-32,072
7	-1,8	-25,056
8	-1,7	-18,904
9	-1,6	-13,568
10	-1,5	-9
11	-1,4	-5,152
12	-1,3	-1,976
13	-1,2	0,576
14	-1,1	2,552
15	-1	4
16	-0,9	4,968
17	-0,8	5,504
18	-0,7	5,656
19	-0,6	5,472
20	-0,5	5
21	-0,4	4,288
22	-0,3	3,384
23	-0,2	2,336
24	-0,1	1,192
25	0	-0
26	0,1	-1,192
27	0,2	-2,336
28	0,3	-3,384
29	0,4	-4,288
30	0,5	-5
31	0,6	-5,472
32	0,7	-5,656
33	0,8	-5,504
34	0,9	-4,968
35	1	-4
36	1,1	-2,552
37	1,2	-0,576
38	1,3	1,976
39	1,4	5,152
40	1,5	9
41	1,6	13,568
42	1,7	18,904
43	1,8	25,056
44	1,9	32,072
45	2	40
46	2,1	48,888
47	2,2	58,784
48	2,3	69,736
49	2,4	81,792
50	2,5	95

Bu hesaplayıcı ne işe yarar

Bu araç, sabit bir n derecesi için fizikçilerin Hermite polinomu \(H_n(x)\) değerini ardışık x değerleri boyunca hesaplar. Sonuç olarak \((x, H_n(x))\) çiftlerinden oluşan bir tablo verir ve eğriyi çizer. Hermite polinomları kuantum mekaniğinde (harmonik osilatörün enerji özdurumları), olasılık kuramında ve sayısal analizde (Gauss-Hermite kuadratürü) sıkça karşımıza çıkar.

Nasıl kullanılır

Polinom derecesi n değerini (0, 1, 2, 3, ... gibi negatif olmayan bir tam sayı), x'in başlangıç değerini, artış miktarını (ardışık x değerleri arasındaki adım) ve tekrar sayısını (üretilecek satır sayısı) girin. i'nci x değeri, i = 0'dan count-1'e kadar olmak üzere \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) formülüyle bulunur. Negatif bir artış miktarı azalan bir tablo üretir; sıfır artış ise aynı x değerini tekrarlar.

Formül

Bunlar, \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\) diferansiyel denklemini sağlayan ve \(\exp(2xt - t^2)\) ile üretilen fizikçilerin Hermite polinomlarıdır. Bunları, kararlı üç terimli yineleme bağıntısıyla hesaplıyoruz:

$$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x).$$

Bu yöntem faktöriyel taşmasını (overflow) önler. Bunların, \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\) bağıntısını kullanan olasılıkçıların \(He_n(x)\) polinomları olmadığını unutmayın.

Üç terimli yineleme, her Hermite polinomunu önceki iki dereceden oluşturur.

Çözümlü örnek

n = 3 için yineleme bağıntısı \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) ve \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\) sonucunu verir. x = −2,5 değerinde:

$$8(-15{,}625) + 30 = -95.$$

x = 0 değerinde sonuç 0, x = 2,5 değerinde ise +95'tir. startX = −2,5, stepX = 0,1 ve 51 tekrar ile tablo (−2,5, −95) noktasından (0, 0) üzerinden (2,5, 95) noktasına kadar uzanır ve tek simetrili, kübik biçimli bir eğri çizer.

Sıkça sorulan sorular

Hangi gösterim kullanılıyor? \(H_1(x) = 2x\) olan fizikçilerin gösterimi \(H_n\). İlk birkaç polinom: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\).

n = 0 ise ne olur? Her x için \(H_0(x) = 1\) olduğundan tablo ve grafik 1 yüksekliğinde düz bir doğru olur.

Büyük n için değerler neden hızla büyüyor? Hermite polinomları büyük dereceler ve büyük |x| değerleri için son derece hızlı büyür; çift duyarlık (double precision) yaklaşık 1e308'in ötesinde taşabilir. Anlamlı grafikler için n ve x aralığını ölçülü tutun.

Simetrik bir x aralığında H1'den H4'e eğriler; dereceyle birlikte artan salınımı gösterir.