Máy tính bảng và đồ thị đa thức Hermite Hn(x)

Nhập phép tính

n (bậc đa thức)

Giá trị x ban đầu

Bước nhảy

Số lần lặp

Kết quả

Hermite polynomial order n = 3

51 points

first H_n(x) = -95, last H_n(x) = 95

i	x	Hn(x)
0	-2,5	-95
1	-2,4	-81,792
2	-2,3	-69,736
3	-2,2	-58,784
4	-2,1	-48,888
5	-2	-40
6	-1,9	-32,072
7	-1,8	-25,056
8	-1,7	-18,904
9	-1,6	-13,568
10	-1,5	-9
11	-1,4	-5,152
12	-1,3	-1,976
13	-1,2	0,576
14	-1,1	2,552
15	-1	4
16	-0,9	4,968
17	-0,8	5,504
18	-0,7	5,656
19	-0,6	5,472
20	-0,5	5
21	-0,4	4,288
22	-0,3	3,384
23	-0,2	2,336
24	-0,1	1,192
25	0	-0
26	0,1	-1,192
27	0,2	-2,336
28	0,3	-3,384
29	0,4	-4,288
30	0,5	-5
31	0,6	-5,472
32	0,7	-5,656
33	0,8	-5,504
34	0,9	-4,968
35	1	-4
36	1,1	-2,552
37	1,2	-0,576
38	1,3	1,976
39	1,4	5,152
40	1,5	9
41	1,6	13,568
42	1,7	18,904
43	1,8	25,056
44	1,9	32,072
45	2	40
46	2,1	48,888
47	2,2	58,784
48	2,3	69,736
49	2,4	81,792
50	2,5	95

Công cụ này làm gì

Công cụ này tính đa thức Hermite theo quy ước nhà vật lý \(H_n(x)\) với một bậc \(n\) cố định trên một dãy giá trị \(x\). Kết quả trả về là bảng các cặp \((x, H_n(x))\) cùng đường cong tương ứng. Đa thức Hermite xuất hiện ở khắp nơi trong cơ học lượng tử (các trạng thái riêng năng lượng của dao động tử điều hòa), lý thuyết xác suất và giải tích số (cầu phương Gauss-Hermite).

Cách sử dụng

Nhập bậc đa thức n (một số nguyên không âm như 0, 1, 2, 3, ...), giá trị x ban đầu, bước nhảy (khoảng cách giữa hai giá trị x liên tiếp) và số lần lặp (số dòng cần tạo). Giá trị x thứ i được tính theo \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) với \(i\) chạy từ 0 đến count-1. Bước nhảy âm sẽ tạo bảng giảm dần; bước nhảy bằng 0 sẽ lặp lại cùng một giá trị x.

Công thức

Đây là đa thức Hermite theo quy ước nhà vật lý, thỏa mãn phương trình vi phân \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\) và được sinh bởi hàm \(\exp(2xt - t^2)\). Chúng tôi tính chúng bằng công thức truy hồi ba số hạng ổn định

$$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x).$$

Cách này tránh được tràn số do giai thừa. Lưu ý đây không phải đa thức Hermite theo quy ước nhà xác suất \(He_n(x)\), vốn dùng \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\).

Hệ thức truy hồi ba số hạng xây dựng mỗi đa thức Hermite từ hai bậc trước đó.

Ví dụ minh họa

Với \(n = 3\), công thức truy hồi cho \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) và \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\). Tại \(x = -2.5\):

$$8(-15.625) + 30 = -95.$$

Tại \(x = 0\) giá trị bằng 0, còn tại \(x = 2.5\) giá trị là \(+95\). Với \(\text{startX} = -2.5\), \(\text{stepX} = 0.1\) và 51 lần lặp, bảng sẽ chạy từ \((-2.5, -95)\) qua \((0, 0)\) đến \((2.5, 95)\), vẽ nên một đường cong bậc ba đối xứng lẻ.

Câu hỏi thường gặp

Công cụ dùng quy ước nào? Quy ước nhà vật lý \(H_n\), trong đó \(H_1(x) = 2x\). Một vài đa thức đầu tiên: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\).

Nếu n = 0 thì sao? \(H_0(x) = 1\) với mọi \(x\), nên bảng và đồ thị là một đường thẳng nằm ngang ở độ cao 1.

Vì sao giá trị bùng nổ khi n lớn? Đa thức Hermite tăng cực nhanh khi bậc lớn và \(|x|\) lớn; số thực chính xác kép có thể tràn khi vượt quá khoảng \(1\mathrm{e}308\). Hãy giữ \(n\) và dải \(x\) ở mức vừa phải để có đồ thị hợp lý.

Đường cong của H1 đến H4 trên khoảng x đối xứng, thể hiện dao động tăng dần theo bậc.