Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa el polinomio de Hermite de los físicos \(H_n(x)\) para un único orden \(n\) fijo a lo largo de una sucesión de valores de \(x\). Devuelve una tabla de pares \((x, H_n(x))\) y traza la curva correspondiente. Los polinomios de Hermite aparecen por todas partes en la mecánica cuántica (los estados propios de energía del oscilador armónico), en la teoría de la probabilidad y en el análisis numérico (cuadratura de Gauss-Hermite).
Cómo usarla
Introduce el orden del polinomio n (un entero no negativo como 0, 1, 2, 3, ...), el valor inicial de x, el incremento (el paso entre valores sucesivos de \(x\)) y el número de repeticiones (cuántas filas quieres generar). El valor i-ésimo de \(x\) es \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\), para \(i = 0\) hasta \(\text{count} - 1\). Un incremento negativo genera una tabla descendente; un incremento de cero repite siempre el mismo \(x\).
La fórmula
Se trata de los polinomios de Hermite de los físicos, que satisfacen la ecuación diferencial \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\) y se generan mediante \(\exp(2xt - t^2)\). Los calculamos con la recurrencia estable de tres términos $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x).$$ Así se evita el desbordamiento por factoriales. Conviene tener claro que estos no son los polinomios de los probabilistas \(He_n(x)\), que emplean la recurrencia \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\).
Ejemplo resuelto
Para \(n = 3\), la recurrencia da \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) y \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\). En \(x = -2{,}5\): $$8(-15{,}625) + 30 = -95.$$ En \(x = 0\) vale 0 y en \(x = 2{,}5\) vale \(+95\). Con \(\text{startX} = -2{,}5\), \(\text{stepX} = 0{,}1\) y 51 repeticiones, la tabla va desde \((-2{,}5,\ -95)\) pasando por \((0,\ 0)\) hasta \((2{,}5,\ 95)\), dibujando una curva cúbica con simetría impar.
Preguntas frecuentes
¿Qué convención se usa? La convención de los físicos \(H_n\), en la que \(H_1(x) = 2x\). Los primeros son: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\).
¿Qué pasa si n = 0? \(H_0(x) = 1\) para cualquier \(x\), así que la tabla y la gráfica son una línea horizontal a la altura 1.
¿Por qué los valores se disparan con n grande? Los polinomios de Hermite crecen muy deprisa cuando el orden y \(|x|\) son grandes; la precisión doble puede desbordarse más allá de aproximadamente \(1\text{e}308\). Mantén \(n\) y el rango de \(x\) en valores moderados para obtener gráficas con sentido.
