Qué hace esta calculadora
Esta herramienta tabula el polinomio asociado (generalizado) de Laguerre \(L_{n}^{(\alpha)}(x)\) sobre una secuencia de valores de x. Solo tienes que indicar el grado n, el parámetro α, un valor inicial de x, el tamaño del paso y cuántas filas quieres generar. La calculadora devuelve el valor del polinomio en cada x. Es matemática pura y se aplica de forma universal: no parte de ninguna suposición regional ni específica de un país.
Cómo usarla
Introduce n (un número entero no negativo), α (cualquier número real; el caso clásico de ortogonalidad utiliza \(\alpha > -1\)), el valor inicial de x, el incremento y el número de filas. Los valores de x se generan como $$x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}$$ para \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\), y se calcula y muestra cada valor \(L_{n}^{(\alpha)}(x_i)\).
La fórmula explicada
La forma cerrada es una suma finita, $$L_{n}^{(\alpha)}(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n+\alpha}{n-k} \frac{x^{k}}{k!},$$ donde \(\binom{n+\alpha}{n-k}\) es el coeficiente binomial generalizado. Para mayor estabilidad numérica, la calculadora emplea en su lugar la recurrencia de tres términos: \(L_{0} = 1\), \(L_{1} = 1 + \alpha - x\) y $$(k+1)L_{k+1} = (2k+1+\alpha-x)L_{k} - (k+\alpha)L_{k-1}.$$ Así se evitan los factoriales grandes y los problemas de cancelación cuando n es moderado o grande.
Ejemplo resuelto
Con los valores por defecto \(n = 3\) y \(\alpha = 1\), el polinomio explícito es $$L_{3}^{1}(x) = 4 - 6x + 2x^{2} - \tfrac{1}{6}x^{3}.$$ En \(x = 0\) el valor es 4. En \(x = 0{,}1\) resulta $$4 - 0{,}6 + 0{,}02 - 0{,}0001667 \approx 3{,}419833.$$ En \(x = 1\) equivale a $$4 - 6 + 2 - 0{,}166667 = -0{,}166667.$$
Primeros Polinomios de Laguerre Asociados
Los polinomios de Laguerre asociados (generalizados) \(L_n^{(\alpha)}(x)\) son polinomios de grado \(n\) en \(x\) cuyos coeficientes dependen del parámetro \(\alpha\). La forma cerrada es
$$L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{x^k}{k!}.$$Los primeros cinco, escritos en forma general \(\alpha\), son:
| \(n\) | \(L_n^{(\alpha)}(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(-x+(\alpha+1)\) |
| 2 | \(\dfrac{x^2}{2}-(\alpha+2)x+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)}{2}\) |
| 3 | \(-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)x^2}{2}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}\) |
| 4 | \(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{(\alpha+4)x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)(\alpha+4)x^2}{4}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)x}{6}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)}{24}\) |
Caso especial \(\alpha=0\). Estableciendo \(\alpha=0\) se recuperan los polinomios de Laguerre ordinarios \(L_n(x)=L_n^{(0)}(x)\):
| \(n\) | \(L_n(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(1-x\) |
| 2 | \(1-2x+\tfrac12 x^2\) |
| 3 | \(1-3x+\tfrac32 x^2-\tfrac16 x^3\) |
| 4 | \(1-4x+3x^2-\tfrac23 x^3+\tfrac{1}{24}x^4\) |
El coeficiente líder es siempre \(\dfrac{(-1)^n}{n!}\), independiente de \(\alpha\).
Términos Clave y Variables
- Grado \(n\)
- Un entero no negativo que da el grado del polinomio; \(L_n^{(\alpha)}(x)\) tiene exactamente \(n\) raíces. En la calculadora este es el campo grado.
- Parámetro \(\alpha\)
- Un número real (comúnmente \(\alpha>-1\)) que desplaza los coeficientes binomiales y el peso de ortogonalidad. El campo alfa. Con \(\alpha=0\) los polinomios se reducen a los polinomios de Laguerre ordinarios.
- Argumento \(x\)
- El punto en el que se evalúa el polinomio. La tabla recorre \(x_i=\text{inicioX}+i\cdot\text{pasoX}\). El dominio natural para la ortogonalidad es \((0,\infty)\).
- Coeficiente binomial generalizado
- Para índice superior real, \(\binom{n+\alpha}{n-k}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(k+\alpha+1)\,(n-k)!}\), que extiende \(\binom{m}{j}=m!/(j!(m-j)!)\) a \(\alpha\) no entero mediante la función Gamma.
- Recurrencia de tres términos
- La forma estable de generar los polinomios: \((k+1)L_{k+1}^{(\alpha)}=(2k+1+\alpha-x)L_k^{(\alpha)}-(k+\alpha)L_{k-1}^{(\alpha)}\), comenzando desde \(L_0^{(\alpha)}=1\) y \(L_1^{(\alpha)}=1+\alpha-x\).
- Ortogonalidad en \((0,\infty)\)
- Los polinomios son mutuamente ortogonales: \(\displaystyle\int_0^\infty L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\,w(x)\,dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}\).
- Función de peso \(w(x)=x^{\alpha}e^{-x}\)
- El factor respecto al cual se mantiene la ortogonalidad; para \(\alpha=0\) es el peso exponencial simple \(e^{-x}\). La convergencia de la integral requiere \(\alpha>-1\).
Interpretación de la Tabla
Leer una tabla calculada de \(L_n^{(\alpha)}(x)\) es más fácil con estos datos:
- Número de raíces reales. Para \(\alpha>-1\), \(L_n^{(\alpha)}(x)\) tiene exactamente \(n\) ceros reales simples, todos en el intervalo abierto \((0,\infty)\). Si su columna de tabla cruza cero \(n\) veces, ha localizado todas ellas.
- Cambios de signo. Puesto que todos los ceros son simples, el polinomio cambia de signo en cada uno. Entre dos ceros consecutivos los valores mantienen un signo constante, por lo que un cambio de signo entre filas adyacentes delimita una raíz — útil como intervalo de inicio para un buscador de raíces de bisección o Newton.
- Valor en el origen. Todo polinomio de Laguerre asociado satisface \(L_n^{(\alpha)}(0)=\binom{n+\alpha}{n}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!\,\Gamma(\alpha+1)}\). Por ejemplo, con \(n=4,\ \alpha=0\) la primera fila en \(x=0\) es 1, y con \(n=4,\ \alpha=2\) es \(\binom{6}{4}=\) 15.
- Mecánica cuántica. La parte radial de la función de onda del átomo de hidrógeno está construida a partir de \(L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}\!\left(2r/(na_0)\right)\); los nodos del polinomio corresponden a los nodos radiales del orbital.
- Cuadratura de Gauss–Laguerre. Los ceros enumerados en la tabla son exactamente las abscisas utilizadas para aproximar \(\int_0^\infty f(x)\,x^{\alpha}e^{-x}\,dx\), con pesos derivados de los mismos polinomios.
Esta es información de referencia matemática general; verifique cualquier valor en el que confíe en una aplicación crítica.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si n = 0? \(L_{0}^{(\alpha)}(x) = 1\) para cualquier x y cualquier α.
¿Puede α ser negativo o no entero? Sí: tanto la suma como la recurrencia funcionan para cualquier α real. La ortogonalidad clásica en \((0, \infty)\) exige \(\alpha > -1\).
¿El paso puede ser cero o negativo? Sí. Un paso negativo recorre x hacia abajo; un paso de cero repite el mismo x y genera una tabla degenerada (con x constante).
