Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el área y el perímetro de un triángulo cuando conoces las coordenadas cartesianas de sus tres vértices: A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3). Los datos de entrada son simples números reales del plano de coordenadas, así que pueden ser negativos, cero, enteros o decimales. Los resultados conservan las mismas unidades que tus coordenadas: el área en unidades cuadradas y el perímetro en unidades lineales. Si tus coordenadas son números sin unidad, los resultados también serán adimensionales.
Cómo usarla
Introduce el valor de x e y de cada uno de los tres puntos A, B y C, y consulta directamente el área y el perímetro. La tabla también desglosa el perímetro en sus tres lados AB, BC y CA, para que puedas comprobar la longitud de cada arista por separado.
Las fórmulas, explicadas
El área se obtiene con la fórmula del zapato (también conocida como fórmula de Gauss o de la lazada). La cantidad con signo \((x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - y_1 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_1)\) equivale al doble del área con signo; al dividir entre 2 y tomar el valor absoluto se obtiene un área positiva, sin importar si los vértices se enumeran en sentido horario o antihorario.
$$A = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$
El perímetro es simplemente la suma de las longitudes de los tres lados, cada una calculada con la fórmula de la distancia de Pitágoras entre dos puntos.
$$P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}$$
$$\left\{ \begin{aligned} \overline{AB} &= \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \\ \overline{BC} &= \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2} \\ \overline{CA} &= \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Para A(-2, 3), B(-3, -1), C(3, -2): el término del producto cruzado es \(2 + 6 + 9 + 9 + 3 - 4 = 25\), por lo que \(S = \left|\frac{25}{2}\right| =\) 12,5. Los lados miden \(AB = \sqrt{17} \approx 4{,}1231\), \(BC = \sqrt{37} \approx 6{,}0828\) y \(CA = \sqrt{50} \approx 7{,}0711\), lo que da un perímetro \(L \approx\) 17,27694.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que el área sea cero? Un área igual a cero indica que los tres puntos son colineales (están alineados sobre una misma recta), de modo que no forman un triángulo real.
¿Importa el orden de los puntos? No. El valor absoluto de la fórmula del zapato hace que el área no dependa de si enumeras los vértices en sentido horario o antihorario.
¿Puedo usar coordenadas negativas? Sí. Cualquier número real es válido, incluidos los negativos y los decimales.
