이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 삼각형 세 꼭짓점의 직교좌표 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)를 알 때 그 삼각형의 넓이와 둘레를 구해 줍니다. 입력값은 좌표평면 위의 일반 실수이므로 음수, 0, 정수, 소수 모두 사용할 수 있습니다. 결과의 단위는 입력한 좌표 단위를 그대로 따라가서, 넓이는 제곱 단위, 둘레는 길이 단위로 나옵니다. 좌표가 단위 없는 순수한 숫자라면 결과도 단위 없는 값이 됩니다.
사용 방법
세 점 A, B, C 각각의 x값과 y값을 입력한 뒤 넓이와 둘레를 확인하세요. 표에는 둘레를 AB, BC, CA 세 변으로 나누어 보여 주므로 각 변의 길이도 따로 확인할 수 있습니다.
사용한 공식 설명
넓이는 신발끈 공식(shoelace formula)으로 구합니다. 부호가 있는 값 \((x_1 \cdot y_2 + x_2 \cdot y_3 + x_3 \cdot y_1 - y_1 \cdot x_2 - y_2 \cdot x_3 - y_3 \cdot x_1)\)은 부호 있는 넓이의 2배와 같습니다.
$$A = \frac{1}{2}\left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$이 값을 2로 나눈 뒤 절댓값을 취하면, 꼭짓점을 시계 방향으로 적었든 반시계 방향으로 적었든 항상 양수인 넓이를 얻습니다. 둘레는 세 변의 길이를 모두 더한 값이며, 각 변의 길이는 두 점 사이의 거리를 구하는 피타고라스 거리 공식으로 계산합니다.
$$P = \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA}$$각 변의 길이는 다음과 같습니다.
$$\left\{ \begin{aligned} \overline{AB} &= \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \\ \overline{BC} &= \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2} \\ \overline{CA} &= \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} \end{aligned} \right.$$
예제로 풀어 보기
A(-2, 3), B(-3, -1), C(3, -2)인 경우를 봅시다. 외적 항은 \(2 + 6 + 9 + 9 + 3 - 4 = 25\)이므로 \(S = \left| \frac{25}{2} \right| =\) 12.5입니다. 각 변은 \(\overline{AB} = \sqrt{17} \approx 4.1231\), \(\overline{BC} = \sqrt{37} \approx 6.0828\), \(\overline{CA} = \sqrt{50} \approx 7.0711\)이며, 둘레는 \(L \approx\) 17.27694가 됩니다.
자주 묻는 질문
넓이가 0으로 나오면 어떻게 되나요? 넓이가 0이라는 것은 세 점이 한 직선 위에 놓여 있다(공선이다)는 뜻이므로, 실제 삼각형을 이루지 못합니다.
점을 입력하는 순서가 결과에 영향을 주나요? 아닙니다. 신발끈 공식에서 절댓값을 취하기 때문에, 꼭짓점을 시계 방향으로 적든 반시계 방향으로 적든 넓이는 동일합니다.
음수 좌표도 사용할 수 있나요? 네. 음수와 소수를 포함한 모든 실수를 사용할 수 있습니다.
