가감법 계산기

계산 입력

결과

연립방정식의 해

x = 3, y = 2

유일한 해 (두 직선이 한 점에서 만남)

x	3
y	2
행렬식 (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

가감법이란?

가감법(더하기·빼기로 푼다고 해서 '소거법'이라고도 합니다)은 미지수가 두 개인 연립일차방정식을 푸는 방법입니다. 두 방정식에 적당한 수를 곱해서 한 변수가 사라지도록 만든 뒤, 두 식을 더하거나 빼고 나머지 값을 대입해 구하는 방식이죠. 이 계산기가 그 복잡한 계산을 대신해 드립니다. 연립방정식 $a_1 x + b_1 y = c_1$, $a_2 x + b_2 y = c_2$의 계수 여섯 개만 입력하면 x와 y의 정확한 값을 바로 알려드립니다.

좌표 격자에서 한 점에서 만나는 두 직선 — 2x2 선형 연립방정식은 두 직선에 대응하며, 그 교점이 해 (x, y)입니다.

계산기 사용법

각 방정식의 계수를 해당하는 칸에 입력하세요. 첫 번째 줄은 방정식 1($a_1$, $b_1$, $c_1$), 두 번째 줄은 방정식 2($a_2$, $b_2$, $c_2$)입니다. 계수는 음수나 소수도 입력할 수 있습니다. 계산 버튼을 누르면 해와 함께 행렬식 $a_1 b_2 - a_2 b_1$ 값이 표시됩니다. 이 행렬식을 보면 유일한 해가 존재하는지 알 수 있습니다.

공식 풀이

가감법과 동일한 결과를 주는 크라메르 공식을 쓰면 해는 다음과 같습니다. $$x = \frac{\text{c}_1\,\text{b}_2 - \text{c}_2\,\text{b}_1}{D}, \qquad y = \frac{\text{a}_1\,\text{c}_2 - \text{a}_2\,\text{c}_1}{D} \\[1.5em] \text{where}\quad D = \text{a}_1\,\text{b}_2 - \text{a}_2\,\text{b}_1 \neq 0$$ 두 식이 공유하는 분모 $a_1 b_2 - a_2 b_1$이 바로 계수 행렬식입니다. 이 값이 0이면 두 직선이 평행하다는 뜻이며, 해가 아예 없거나(불능) 무수히 많거나(부정, 같은 직선) 둘 중 하나입니다.

방정식을 곱하고 빼서 한 변수를 소거하는 단계 — 한 변수의 계수가 같아지도록 방정식을 곱한 뒤 빼면 그 변수가 소거됩니다.

예제 풀이

$2x + 3y = 12$와 $x - y = 1$을 풀어봅시다. 여기서 $a_1=2$, $b_1=3$, $c_1=12$, $a_2=1$, $b_2=-1$, $c_2=1$입니다. 행렬식은 $$2(-1) - 1(3) = -5$$ 이고, $$x = \frac{12 \cdot -1 - 1 \cdot 3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \qquad y = \frac{2 \cdot 1 - 1 \cdot 12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$ 가 됩니다. 따라서 $x = 3$, $y = 2$입니다.