Калькулятор метода сложения

Введите расчет

a₁ (коэффициент при x, ур. 1)

b₁ (коэффициент при y, ур. 1)

c₁ (свободный член, ур. 1)

a₂ (коэффициент при x, ур. 2)

b₂ (коэффициент при y, ур. 2)

c₂ (свободный член, ур. 2)

Результатов

Решение системы

x = 3, y = 2

единственное решение (прямые пересекаются)

x	3
y	2
Определитель (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

Что такое метод сложения?

Метод сложения (его также называют методом алгебраического сложения или методом исключения) — это способ решения системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Уравнения умножают на подходящие множители так, чтобы при сложении или вычитании одна из переменных сократилась, а затем находят вторую переменную обратной подстановкой. Этот калькулятор берёт всю алгебру на себя: введите шесть коэффициентов системы \(a_1x + b_1y = c_1\) и \(a_2x + b_2y = c_2\), и он выдаст точные значения x и y.

Линейная система 2×2 соответствует двум прямым, точка пересечения которых — решение (x, y).

Как пользоваться калькулятором

Впишите коэффициенты каждого уравнения в соответствующие поля. Первая строка — это уравнение 1 (a₁, b₁, c₁), вторая строка — уравнение 2 (a₂, b₂, c₂). Коэффициенты могут быть отрицательными или дробными. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть решение, а также определитель \(a_1b_2 - a_2b_1\), по которому видно, есть ли у системы единственное решение.

Разбор формулы

По правилу Крамера (которое равносильно методу сложения) решение записывается так:

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$

Общий знаменатель \(a_1b_2 - a_2b_1\) — это главный определитель системы. Если он равен нулю, прямые параллельны: решений либо нет вовсе (система несовместна), либо их бесконечно много (это одна и та же прямая).

Умножение уравнений так, чтобы коэффициенты одной переменной совпали, и последующее вычитание исключает эту переменную.

Пример решения

Решим систему \(2x + 3y = 12\) и \(x - y = 1\). Здесь \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=12\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\). Определитель равен \(2\cdot(-1) - 1\cdot 3 = -5\). Тогда

$$x = \frac{12\cdot(-1) - 1\cdot 3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \qquad y = \frac{2\cdot 1 - 1\cdot 12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

Итак, \(x = 3\), \(y = 2\).

Частые вопросы

Что делать, если определитель равен нулю? У системы нет единственного решения. Калькулятор проверит совместность и сообщит либо «решений нет» (прямые параллельны), либо «бесконечно много решений» (прямые совпадают).

Можно ли вводить десятичные дроби или обыкновенные дроби? Десятичные дроби работают напрямую. Обыкновенную дробь сначала переведите в десятичную (например, 1/2 → 0,5).

Это то же самое, что метод подстановки? Оба метода дают одинаковый ответ. В методе сложения переменная исключается за счёт комбинирования уравнений, а в методе подстановки сначала выражают одну переменную через другую.