Что такое функция ошибок?
Функция ошибок, обозначаемая \(\operatorname{erf}(x)\), — это специальная функция, которая встречается повсюду в теории вероятностей, статистике, а также в теории диффузии и теплопроводности. Она определяется как удвоенный интеграл от функции Гаусса (колоколообразной кривой) в пределах от 0 до x и нормируется так, чтобы \(\operatorname{erf}(\infty) = 1\). С ней тесно связана дополнительная функция ошибок \(\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)\), которая описывает площадь «хвоста» распределения.
Как пользоваться калькулятором
Введите любое действительное число x — и калькулятор сразу вернёт значения \(\operatorname{erf}(x)\) и \(\operatorname{erfc}(x)\). Можно подставлять как положительные, так и отрицательные числа, ведь erf — нечётная функция: \(\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)\). Результат безразмерный и всегда лежит в диапазоне от −1 до 1.
Разбираемся в формуле
У функции ошибок нет элементарного выражения в замкнутом виде, поэтому её приходится вычислять численно. Наш калькулятор использует классическую рационально-полиномиальную аппроксимацию 7.1.26 из справочника Абрамовица и Стиган. В ней вводится замена \(\tau = 1/(1 + px)\) при \(p = 0{,}3275911\) и применяются коэффициенты \(a_1 = 0{,}254829592\), \(a_2 = -0{,}284496736\), \(a_3 = 1{,}421413741\), \(a_4 = -1{,}453152027\), \(a_5 = 1{,}061405429\). Тогда $$\operatorname{erf}(x) \approx 1 - (a_1\tau + a_2\tau^2 + a_3\tau^3 + a_4\tau^4 + a_5\tau^5)\cdot e^{-x^2}.$$ Максимальная абсолютная погрешность этой аппроксимации составляет около \(1{,}5 \times 10^{-7}\) — этого с запасом хватает практически для любых инженерных расчётов.
Пример расчёта
Возьмём \(x = 1\): $$\tau = \frac{1}{1 + 0{,}3275911} \approx 0{,}753139.$$ Подставляя это значение в полином и умножая результат на \(e^{-1}\), получаем \(\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}842701\) — это совпадает с точным значением \(0{,}8427008\). Дополнительная функция при этом равна \(\operatorname{erfc}(1) \approx 0{,}157299\).
Частые вопросы
Какие значения принимает \(\operatorname{erf}(x)\)? Функция меняется от −1 (при \(x \to -\infty\)) до +1 (при \(x \to +\infty\)), проходя через 0 в точке \(x = 0\).
Насколько точен результат? Аппроксимация даёт точность примерно до 7 знаков после запятой (погрешность \(< 1{,}5\mathrm{e}{-7}\)).
Где применяется erfc? Дополнительная функция ошибок часто встречается при расчёте вероятностей в «хвостах» распределения, частоты битовых ошибок в системах связи, а также в решениях уравнения диффузии.
